11.6. Расчеты для двух реализаций

В последующих выкладках предполагается, что реализации и принадлежат стационарным случайным процессам и заданы на конечном интервале времени произвольное начало отсчета (в стационарном случае). Пусть интервал дискретности равен следовательно, частота Найквиста Реализации и представлены дискретными последовательностями

Прежде всего рассчитываются средние значения

а затем производится центрирование

так что полученные последовательности соответствуют новым реализациям с нулевыми средними значениями. Могут также выполняться другие операции предварительной обработки, указанные в разд. 11.1.

11.6.1. СОВМЕСТНАЯ ПЛОТНОСТЬ ВЕРОЯТНОСТИ

Как следует из соотношений (3.25) и (8.87), оценку совместной плотности вероятности двух стационарных реализаций) можно найти по дискретным выборкам из этих реализаций в виде

где узкие интервалы с центральными значениями х и у соответственно, число пар отсчетов, которые одновременно попадают в эти интервалы. Таким образом, оценку получают следующим образом. Прежде всего разбивают диапазоны изменения переменных на интервалы равной ширины, образующие в совокупности таблицу с двумя входами. Затем подсчитывают число точек, попадающих в каждую клетку таблицы, и это число делят на площадь клетки и объем выборки Программа для рассортировки данных по соответствующим клеткам аналогична программе, используемой для получения оценок одномерной плотности (см. разд. 11.3).

11.6.2. ВЗАИМНЫЕ КОВАРИАЦИОННЫЕ ФУНКЦИИ

Оценки взаимных ковариационных функций, так же как и оценки автоковариационных функций, могут быть получены двумя основными способами: непосредственным вычислением и с использованием БПФ. Ниже рассмотрены оба способа.

Непосредственное вычисление. Несмещенные оценки взаимных ковариационных функций при сдвигах находятся в виде

Заметим, что взаимные ковариационные функции различаются порядком сомножителей

Выборочную взаимную ковариационную функцию можно нормировать так, что значения ее будут находиться между для чего нужно разделить ее на величину Таким образом получается нормированная взаимная корреляционная функция

которая теоретически должна удовлетворять неравенству Аналогичным образом определяется функция

Вычисление при помощи БПФ. Для получения взаимной ковариационной функции при помощи БПФ, как и в разд. 10.4.2, можно рекомендовать следующую последовательность вычислений. Пусть объем каждой выборки

из реализаций и составляет чисел. Взаимную ковариационную функцию в этом варианте находят по спектральной плотности процесса, для чего дважды применяют БПФ - к функции и к функции Оба преобразования можно находить одновременно, используя метод, описанный в разд. 11.2.4.

Рекомендуемая в итоге последовательность операций для получения оценки взаимной ковариационной функции описана ниже в предположении, что длина исходных реализаций есть

1. Выбирается максимальный сдвиг и исходные реализации разбиваются на отрезков, каждый из которых состоит из отсчетов.

2. Каждый отрезок дополняется нулями, в результате чего новый отрезок содержит отсчетов.

3. По отрезкам, содержащим по точек, в соответствии с формулой (11.71) методом БПФ вычисляются коэффициенты

4. По формулам (11.72) вычисляются величины

5. По методу, описанному в разд. 11.6.3, вычисляется оценка двухсторонней спектральной плотности.

6. По формуле (11.76) вычисляется обратное БПФ последовательности дающее оценку

7. Несмещенная оценка взаимной ковариационной функции при положительном сдвиге находится умножением на масштабные коэффициенты .

8. Несмещенная оценка взаимной ковариационной функции при отрицательном сдвиге находится умножением на масштабные коэффициенты .

Соображения, положенные в основу этой методики, аналогичны обоснованию способа оценивания автоковариационной функции (см. разд. 11.4.2).

11.6.3. ФУНКЦИИ ВЗАИМНОЙ СПЕКТРАЛЬНОЙ ПЛОТНОСТИ

По аналогии с оцениванием автоспектров (разд. 11.5) можно рекомендовать следующие этапы оценивания функции взаимной спектральной плотности.

1. Имеющиеся реализации разделяются на отрезков каждый из которых содержит отсчетов.

2. При необходимости подавить просачивание энергии через боковые максимумы каждый отрезок сглаживается фильтром Ханна (см. разд. 11.5.2) или любым другим подходящим образом выбранным фильтром (можно использовать описанное в разд. 11.5.2 корреляционное сглаживание).

3. Сглаженные значения запоминаются как действительная часть, а сглаженные значения как мнимая часть последовательности

4. По формуле (11.71) для каждого отрезка вычисляется значений БПФ . При необходимости уменьшить рост

дисперсии оценки за счет сглаживания БПФ выполняются по перекрывающимся отрезкам (см. разд. 11.5.2).

5. По формулам (11.72) для каждого отрезка вычисляются коэффициенты и

6. Значения умножаются на масштабный коэффициент для компенсации внесенных сглаживанием изменений (при использовании окна Ханна этот коэффициент равен V 8/3).

7. Для каждой пары отрезков по значениям вычисляется несглаженная оценка двухсторонней взаимной спектральной плотности

или односторонней взаимной спектральной плотности

8. Осреднение несглаженных оценок по парам отрезков дает окончательную сглаженную оценку или Сглаженная оценка может быть представлена в виде

11.6.4. ЧАСТОТНАЯ ХАРАКТЕРИСТИКА

Оценку частотной (амплитудной и фазовой) характеристики линейной системы с одним процессом на входе и одним процессом на выходе при наличии помехи только на выходе рекомендуется вычислять по формуле

Таким образом,

Следовательно, численные оценки амплитудной и фазовой характеристик на частотах , определяются в виде

Здесь оценка автоспектра, вычисленная в соответствии с

разд. 11.5 по отрезкамхп действительная и мнимая части оценки взаимной спектральной плотности вычисленной в соответствии с разд. 11.6.3 по парам отрезков

11.6.5. ИМПУЛЬСНЫЕ ПЕРЕХОДНЫЕ (ВЕСОВЫЕ) ФУНКЦИИ

Подобно тому как обратное преобразование Фурье функций дает циклические смещенные оценки обратное преобразование Фурье функции позволяет получить циклическую смещенную оценку импульсной переходной (весовой) функции При необходимости оценить по функции в формуле (11.142) следует заменить двухсторонними оценками, полученными, как описано в разд. 11.4.2 и 11.6.2, добавлением нулевых значений к исходной последовательности. Обратное преобразование Фурье этой новой последовательности, представляющей собой отношение соответствующих оценок взаимной спектральной и спектральной плотности, даст последовательность ; вторую половину ее следует отбросить. После умножения на масштабные множители получается искомая оценка

11.6.6. ФУНКЦИЯ ОБЫЧНОЙ КОГЕРЕНТНОСТИ

Согласно формулам (9.54), функцию обычной когерентности уху связывающую последовательности записывают в виде

где оценки автоспектров последовательностей соответственно, оценка взаимной спектральной плотности последовательностей Поэтому численная оценка функции обычной когерентности на частотах , находится в виде

где оценки автоспектров, вычисленные в соответствии с разд. 11.5 по отрезкам, - соответствующая оценка взаимного спектра (см. разд. 11.6.3).