5.3. Эргодические и гауссовы случайные процессы

С практической точки зрения важнейшими классами стационарных случайных процессов являются:

а) эргодические процессы с произвольной вероятностной структурой;

б) гауссовы процессы, эргодические или неэргодические.

Сейчас мы изучим эти два класса случайных процессов, а также линейные преобразования случайных процессов.

5.3.1. ЭРГОДИЧЕСКИЕ СЛУЧАЙНЫЕ ПРОЦЕССЫ

Рассмотрим два слабо стационарных случайных процесса и две их произвольные выборочные функции Эти стационарные случайные процессы называются слабо эргодическими, если их средние значения и ковариационные (корреляционные) функции, которые в разд. 5.1.1 были определены путем усреднения по ансамблю, можно вычислить с помощью усреднения по времени любой пары выборочных функций. Таким образом, исходная вероятностная структура таких слабо стационарных случайных процессов легко определяется по любой паре реализаций, и, следовательно, отпадает необходимость накопления большого числа данных.

Например, средние значения конкретных выборочных функций вычисленные путем усреднения по времени, можно представить как

Заметим, что результат уже не зависит от поскольку по было выполнено усреднение. Однако в общем случае результат зависит от выбора конкретной выборочной функции, что отмечено индексом к.

Взаимные корреляционная и ковариационная функции реализаций вычисленные путем усреднения по времени, определяются

выражением

Ковариационная и корреляционная функции имеют вид

Сравним теперь эти величины с ранее определенными средними значениями и корреляционными функциями вычисленными путем усреднения по ансамблю в предположении стационарности соответствующих процессов (см. разд. 5.1.1). Если окажется, что независимо от значения к

то случайные процессы называются слабо эргодическими. Если все статистические характеристики определенные путем усреднения по ансамблю (а не только средние значения и ковариационные функции) совпадают с соответствующими величинами, полученными с помощью усреднения по времени, то такие случайные процессы называются строго эргодическими. Следовательно, строгая эргодичность

влечет слабую, но не наоборот. Для гауссовых случайных процессов оба понятия совпадают.

Для эргодичности некоторого процесса прежде всего требуется, чтобы он был стационарным. Каждая выборочная функция в равной степени представляет весь процесс в указанном выше смысле, так что выбор какой-либо конкретной реализации для выполнения усреднения по времени не имеет никакого значения. В случае эргодических процессов для определения их ковариационной и взаимной ковариационной функций вместо формулы (5.6) можно использовать следующие формулы:

ПРИМЕР 5.11. НЕЭРГОДИЧЕСКИЙ СТАЦИОНАРНЫЙ СЛУЧАЙНЫЙ ПРОЦЕСС. Приведем простой пример неэргодического стационарного случайного процесса. Рассмотрим случайный процесс состоящий из гармонических выборочных функций вида

Пусть амплитуды и фазовые углы случайные величины, принимающие разные значения в разных реализациях (рис. 5.7). Если распределены равномерно, то характеристики процесса, вычисленные путем усреднения по ансамблю в фиксированные моменты времени, не зависят от времени; следовательно, процесс стационарен. Однако характеристики, вычисленные усреднением по времени отдельных выборочных функций, могут и не совпасть. Например, ковариационная (или корреляционная) функция, вычисленная по произвольной выборочной функции, равна

Поскольку зависит от k, то Следовательно, этот случайный процесс не эргодичен.

Предположим теперь, что вместо случайных амплитуд в определении процесса взяты неслучайные амплитуды, т. е. не зависящие от k.

(кликните для просмотра скана)

Тогда случайный процесс будет состоять из выборочных функций вида

Такой случайный процесс эргодичен, каждая его реализация статистически эквивалентна любой другой реализации с точки зрения операции усреднения по времени, что иллюстрирует рис. 5.8. На этом пример 5.11 заканчивается.