12.5. Корреляционная структура нестационарных процессов

Рассмотрим вещественные нестационарные случайные процессы . В произвольный момент их средние значения определяются математическими ожиданиями

Исходные процессы можно теперь привести к нулевым средним значениям, заменяя на на . В дальнейшем предполагается, что эта операция выполнена.

12.5.1. ДВОЙНЫЕ ПО ВРЕМЕНИ КОВАРИАЦИОННЫЕ ФУНКЦИИ

Ковариационные функции при произвольных фиксированных значениях и определяются математическими ожиданиями

Величины называются нестационарными ковариационными функциями, нестационарной взаимной ковариационной функцией. Как показано в разд. 5.1.1, в стационарном случае эти функции зависят не от а только от разности

Действуя по аналогии со стационарным случаем (см. разд. 5.1.3), можно показать, что при любых и верхняя граница нестационарной взаимной ковариационной функции определяется неравенством для взаимной ковариации:

Из основных определений сразу следует, что

Рассмотрим задачу измерения по совкупности из выборочных функций принадлежащих нестационарному случайному процессу. Вместо формулы (12.54) нужно найти среднюю по ансамблю оценку

Рекомендуемый прием — фиксирование при переменном Пусть , где фиксированная величина сдвига во времени. Тогда функция

в случае стационарного процесса является только функцией а в случае нестационарного процесса — функцией Для каждого фиксированного значения сдвига и каждой реализации рассчитываются и запоминаются произведения Эта операция повторяется для всех реализаций, а последующее усреднение по ансамблю дает оценку (12.60). Вся

Рис. 12.6. Схема измерения нестационарной автоковариационной функции.

последовательность вычислений должна повторяться для всех значений Метод измерения нестационарных автоковариационных функций иллюстрируется на рис. 12.6. Аналогичный метод можно применить и для измерения нестационарных взаимных ковариационных функций.

12.5.2. ДРУГОЙ СПОСОБ ПРЕДСТАВЛЕНИЯ ДВОЙНЫХ ПО ВРЕМЕНИ КОВАРИАЦИОННЫХ ФУНКЦИЙ

Двойную по времени ковариацйонную функцию можно определить и иначе — с помощью описанных ниже преобразований. Пусть

тогда

Здесь есть длина интервала между средняя точка этого интервала. Очевидно, что

Символ использован здесь вместо для фикции, заданной на плоскости с координатами а не Заметим, что при (и

где дисперсии последовательностей в момент ковариация последовательностей в момент Для всех функций вида справедливы равенства вида

Кроме того,

Формулы (12.68) означают, что четная функция

На плоскости можно иногда разделить стационарную и нестационарную части нестационарной ковариационной функции. В частности, может оказаться справедливым равенство

где медленно меняющаяся неотрицательная функция момента времени отвечающего середине интервала между , а стационарная ковариационная фикция, зависящая только от разности . В случаях, когда такое представление ковариационной функции возможно, соответствующий случайный процесс называют локально стационарным. Подобные ситуации рассмотрены в разд. 12.6.4.

Средняя по времени взаимная ковариационная функция определяется через

а средняя по времени автоковаюиационная функция в виде

Поскольку имеем

Таким образом, есть действительная и четная функция аргумента представляющая обычную автоковариационную функцию стационарного случайного процесса. Имея в виду, что получаем из (12.69):

так что представляет обычную взаимную ковариационную функцию стационарного случайного процесса.

ПРИМЕР 12.5. ДВОЙНАЯ ПО ВРЕМЕНИ АВТОКОВАРИАЦИОННАЯ ФУНКЦИЯ ПЕРИОДИЧЕСКОГО СИГНАЛА. Рассмотрим периодическую функцию

где постоянные. Согласно формуле (12.54),

а из (12.69) следует, что

где . В этом примере представляет собой сумму стационарного слагаемого и нестационарного слагаемого .

ПРИМЕР 12.6. ДВОЙНАЯ ПО ВРЕМЕНИ КОВАРИАЦИОННАЯ ФУНКЦИЯ МОДУЛИРОВАННОГО СЛУЧАЙНОГО ПРОЦЕССА. Рассмотрим модулированный случайный процесс

где постоянная, стационарный случайный процесс с нулевым средним значением. Из соотношений (12.54) и. (12.64) следует, что

В этом примере нестационарная часть распадается на произведение функции на функцию только одного аргумента Заметим, что при всех

Однако при функция может быть как положительной, так и отрицательной.