6.1.3. МОДЕЛИ С ПОСТОРОННИМ ШУМОМ

Рассмотрим модели линейных систем с частотной характеристикой на вход и выход которых воздействует посторонний шум. Пусть и истинные сигналы, шумы, воздействующие соответственно на (рис. 6.6). Предположим, что через систему проходит только и и вызывает выходной сигнал однако наблюдаются реализации вида

При произвольной корреляции между сигналами и шумами спектральные и взаимные спектральные плотности процессов равны

Рис. 6.6. Система с одним входом и одним выходом при наличии постороннего шума.

где

В зависимости от степени коррелированности между собой и с сигналами возможны самые разные ситуации. Особый интерес представляют три из них.

Случай 1. Шум на входе отсутствует; на выход воздействует некоррелированный шум.

Случай 2. Шум на выходе отсутствует; на вход воздействует некоррелированный шум.

Случай 3. Шумы воздействуют и на вход, и на выход, причем они не коррелированы как между собой, так и с сигналами.

СЛУЧАЙ 1. ШУМ НА ВХОДЕ ОТСУТСТВУЕТ; НА ВЫХОД ВОЗДЕЙСТВУЕТ НЕКОРРЕЛИРОВАННЫЙ ШУМ:

Заметим, что можно оценить даже если не наблюдается. Следовательно, можно определить и не наблюдая В практических применениях это, несомненно, важнейший случай, поскольку часто удается точно определить входной сигнал и минимизировать

влияние шума на входе. Однако о шуме на выходе этого сказать обычно нельзя, поскольку он может быть вызван нелинейностью системы или воздействием каких-либо ненаблюдаемых входных сигналов.

В случае 1 функция обычной когерентности равна

поскольку

Заметим, что если и

Это произведение на называется когерентным спектром выходного процесса. Заметим также, что спектр шума на выходе равен

Следовательно, в этом случае можно интерпретировать как относительный вклад на частоте уху как относительный вклад в отличных от процессов на частоте Следовательно, функция обычной когерентности разбивает наблюдаемый спектр выходного процесса на некоррелированные составляющие, соответствующие входному сигналу и постороннему шуму. Формула (6.40) лежит в основе решения многих задач идентификации источника, в которых используются функции обычной когерентности [6.1].

СЛУЧАЙ 2. ШУМ НА ВЫХОДЕ ОТСУТСТВУЕТ; НА ВХОД ВОЗДЕЙСТВУЕТ НЕКОРРЕЛИРОВАННЫЙ ШУМ:

В этом случае можно определить Такая ситуация встречается в некоторых специфических приложениях [6.2]. Однако эти соотношения нельзя использовать, если выход подвержен воздействию шума, связанного с нелинейностью системы, вкладом других входных сигналов и (или) инструментальным шумом на выходе. В этих ситуациях предпочтительнее использовать результаты, полученные при анализе случая 1.

В случае 2 функция обычной когерентности равна

Следовательно, если и

Поэтому в случае 2 функция обычной когерентности разбивает наблюдаемый спектр входа на некоррелированные составляющие, соответствующие сигналу и шуму.

Если разделить частотную характеристику определенную в

случае 1 формулой (6.37), на частотную характеристику определенную в случае 2 формулой (6.42), то в результате получим функцию когерентности

СЛУЧАЙ 3. НА ВХОД И ВЫХОД ВОЗДЕЙСТВУЮТ ШУМЫ, НЕКОРРЕЛИРОВАННЫЕ МЕЖДУ СОБОЙ И С СИГНАЛОМ:

В этом случае нельзя определить по наблюдениям) если неизвестен или не наблюдается шум на входе. Точнее,

Заметим, что, согласно формуле (6.49), зависит от но не зависит от Формула (6.50) для определения показывает, что зависит как от так и от

В случае 3 функция обычной когерентности равна

где отношения шума к сигналу, равные

Очевидно, что уху если только или . В этом случае невозможно разложить или на отдельные составляющие, соответствующие сигналу и шуму, если известны только