7.1.2. ОБЩИЙ СЛУЧАЙ ПРОИЗВОЛЬНЫХ ВХОДНЫХ ПРОЦЕССОВ

Рассмотрим общий случай произвольных входных процессов. Из уравнения (7.4),

заменив индекс суммирования на имеем

Умножив обе части этого уравнения на при , получим

Возьмем математическое ожидание от обеих частей этого равенства:

Умножив обе части на и устремив Тк бесконечности, получим, согласно формулам (7.6) и (7.7),

где взаимные спектральные плотности равны нулю, если и не коррелирован ни с одним из При этом предположении получаем систему уравнений

В этой системе уравнений с неизвестными все спектральные плотности можно вычислить по реализациям входных и выходного процессов. Если модель выбрана правильно, то систему можно решить относительно с помощью правила Крамера или любыми другими матричными методами.

Суммарная спектральная плотность выходного процесса выражается через найденные из системы (7.11), и имеет вид

в предположении, что как и ранее, не коррелирован ни с одним Формула (7.12) получена из соотношений

Если обе части последнего равенства умножить на и перейти к пределу, то получим

Отсюда следует формула (7.12), если взаимные спектральные плотности для всех При различных входах, если для спектр выходного процесса из формулы (7.12) содержит составляющих. Разложение на эти составляющие и их интерпретацию оставляем в качестве полезного упражнения.