8.2.2. СРЕДНИЙ КВАДРАТ

Пусть, как и в разд. 8.2.1, есть отдельная реализация стационарного эргодического случайного процесса Средний квадрат процесса можно найти путем осреднения в пределах конечного интервала времени следующим образом:

Истинный средний квадрат

не зависит от времени , так как процесс стационарен. Математическое ожидание оценки составляет

Следовательно, независимо от длины реализации величина есть несмещенная оценка величины

Средний квадрат ошибки этой оценки равен дисперсии

Предположим теперь, что гауссов случайный процесс со средним значением этом случае математическое ожидание в формуле (8.37) запишется с учетом соотношения (3.81) в ином виде

Из основного соотношения (8.21) следует, что

Таким образом,

При больших когда дисперсия становится равной

Следовательно, величина есть состоятельная оценка параметра так как дисперсия стремится к нулю при и при условии, что функции абсолютно интегрируемы на интервале как это устанавливается соотношениями (5.117).

Рассмотрим важный частный случай ограниченного по частоте гауссова белого шума, определенного формулой (8.25). Тогда, согласно (8.26),

Из формулы (8.41) видно, что

Эта величина представляет собой дисперсию оценки среднего квадрата, причем В есть полная спектральная ширина процесса, полная длина реализации. В обшем случае при нормированная среднеквадратичная

Рис. 8.1. Нормированная случайная ошибка оценок среднего квадрата и среднеквадратичного значения.

ошибка есть

При величина и последнее равенство сводится к виду

так что

При соответствующий результат для среднеквадратичной ошибки оценки а не есть, согласно равенству (8.10),

Графики, отвечающие формулам (8.46) и (8.47) при различных значениях представлены на