13.1.3. СВОЙСТВА ПРЕОБРАЗОВАНИЯ ГИЛЬБЕРТА

Перечислим теперь ряд свойств преобразования Гильберта, часть которых легко следует из основных определений, а остальные доказаны в указанной выше литературе. Пусть преобразования Гильберта функций имеющих преобразования Фурье соответственно.

а) Линейное свойство:

для произвольных функций и и любых постоянных а и

б) Свойство сдвига:

Таблица 13.1. Примеры преобразований Гильберта

в) Преобразование Гильберта преобразования Гильберта:

т.е. последовательное применение двух преобразований Гильберта дает исходную функцию с обратным знаком.

г) Обратное преобразование Гильберта

Следовательно, есть свертка Кроме того, можно найти как

где

д) Свойство четности и нечетности:

Если четная (нечетная) функция от то нечетная (четная) функция от

е) Свойство подобия:

Рис. 13.1. (см. скан) Примеры преобразованийй Гильберта

ж) Энергетическое свойство:

Это тождество следует из теоремы Парсеваля, поскольку

и из, свойства

з) Свойство ортогональности:

Это свойство следует из теоремы Парсеваля, так как

и из того, что

есть нечетная функция от поэтому правая часть формулы (13.40) равна нулю.

и) Свойство модуляции:

если сигнал с ограниченным по частоте преобразованием Фурье т. е.

причем такова, что Аналогично

к) Свойство свертки:

Это свойство следует из того, что

л) Отсутствие коммутативности:

т.е. преобразования Фурье и Гильберта не коммутируют.