3.1.3. ПРЕОБРАЗОВАНИЕ СЛУЧАЙНОЙ ВЕЛИЧИНЫ

Пусть случайная величина с плотностью вероятности и пусть однозначная действительная непрерывная функция от х. Рассмотрим сначала случай, когда обратная функция тоже является действительной однозначной непрерывной функцией от Плотность вероятности соответствующую случайной величине можно определить по плотности вероятности случайной величины и производной в предположении, что производная существует и отлична от нуля, а именно:

Поэтому в пределе при

Используя эту формулу, следует в ее правой части вместо переменной х подставить соответствующее значение

Рассмотрим теперь случай, когда обратная функция является действительной -значной функцией от где целое и все значений равновероятны. Тогда

ПРИМЕР 3.3. РАСПРЕДЕЛЕНИЕ ГАРМОНИЧЕСКОЙ ФУНКЦИИ. Гармоническая функция с фиксированными амплитудой X и частотой будет случайной величиной, если ее начальный фазовый угол случайная величина. В частности, пусть фиксировано и равно и пусть гармоническая случайная величина имеет вид

Предположим, что имеет равномерную плотность вероятности вида

Найдем плотность вероятности случайной величины

В этом примере прямая функция однозначна, а обратная функция двузначна. Из формулы (3.14), подставив вместо х величину в, а вместо величину х, получим

где

Поэтому

Соответствующая функция распределения имеет вид

Графики функций показаны на рис. 3.3.

Рис. 3.3. Плотность вероятности и функция распределения гармонической случайной величины: а — плотность вероятности; б - функция распределения.