1.4. Анализ случайных данных

Анализ случайных данных основан на иных соображениях, чем анализ детерминированных данных, описанных в разд. 1.2. В частности, в силу

того что реализацию случайного процесса нельзя задать явной математической формулой, для оценки свойств таких данных должны использоваться статистические методы. Тем не менее случайные процессы удовлетворяют вполне определенным соотношениям, описывающим преобразования этих процессов; эти соотношения играют ключевую роль во многих приложениях. В таких приложениях важно уметь выявлять и учитывать статистические ошибки, связанные с оценками параметров и соотношениями между входными и выходными процессами преобразований.

1.4.1. ОСНОВНЫЕ ХАРАКТЕРИСТИКИ СЛУЧАЙНЫХ ПРОЦЕССОВ

Основные статистические характеристики, имеющие важное значение для описания свойств отдельных реализаций стационарных случайных процессов, таковы;

1) средние значения и средние квадраты;

2) плотности вероятности;

3) ковариационные функции;

4) функции спектральной плотности.

При обсуждении интуитивных предпосылок теории поучительно дать описательные определения этих величин, не прибегая к математическим формулам. Затем в качестве примеров будут рассмотрены некоторые особенно интересные частные случаи.

Среднее значение и дисперсия о стационарной реализации случайного процесса характеризуют соответственно центр рассеяния и величину рассеяния данных. Средний квадрат равный сумме дисперсии и квадрата среднего значения, является мерой того и другого одновременно. Среднее значение оценивается простым усреднением всех значений реализации. Аналогичным усреднением квадратов значений реализации оценивается средний квадрат. Если перед возведением в квадрат из значений реализации вычитать среднее значение, то такое усреднение даст оценку дисперсии.

Плотность вероятности стационарной реализации задает скорость изменения вероятности в зависимости от значения реализации. Функция обычно оценивается путем вычисления вероятности того, что мгновенное значение отдельной реализации заключено в узком интервале, центр которого пробегает область значений процесса, с последующим делением на ширину интервала. Общая площадь, ограниченная графиком плотности вероятности по всей его области определения, равна единице, что просто свидетельствует о достоверности события, заключающегося в том, что значения реализации содержатся между — Часть этой площади, лежащая левее данного значения х, определяет функцию распределения, обозначаемую Часть площади, ограниченная графиком плотности между произвольными двумя значениями и равная задает вероятность того, что значения реализации в наугад выбранный момент времени попадут в этот интервал значений процесса. Плотности вероятности и функции распределения подробно изучаются в гл. 3 и 4.

Ковариационная функция стационарного процесса задает меру зависимости его значений, сдвинутых относительно друг друга на

Рис. 1.11. (см. скан) Четыре примера реализаций случайных процессов: а — гармонический процесс; б - гармонический процесс плюс случайный шум; в — узкополосный случайный шум; г - широкополосный случайный шум.

определенный интервал времени. Чтобы оценить ковариационную функцию, следует сдвинуть реализацию на время перемножить исходную и сдвинутую реализации и усреднить полученные произведения по всей реализации или по некоторому ее отрезку. Эта процедура выполняется для всех требуемых значений сдвига времени.

Спектральная плотность (иначе, спектр мощности) стационарной реализации задает скорость изменения среднего квадрата в зависимости от частоты. Для оценивания спектра вычисляется средний квадрат в

узкой полосе частот при разных центральных частотах, а затем полученное значение делится на ширину этой полосы. Общая площадь, лежащая под графиком спектральной плотности по всей полосе частот, равна суммарному среднему квадрату реализации. Часть этой площади, заключенная между частотами равна среднему квадрату, сосредоточенному в этой

Рис. 1.12. (см. скан) Плотности вероятности: а — гармонический процесс; б - гармонический процесс плюс случайный шум; в — узкополосный случайный шум; г - широкополосный случайный шум.

полосе частот. Ковариационные функции и спектральные плотности изучаются в гл. 5.

На рис. 1.11 показаны типичные реализации гармонического процесса, гармонического процесса в случайном шуме, узкополосного шума и широкополосного шума. На рис. 1.12-1.14 приводятся вычисленные теоретически соответственно плотности вероятности, ковариационные функции и

Рис. 1.13. (см. скан) Ковариационные функции: а — гармонический процесс; б - гармонический процесс плюс случайный шум; в — узкополосный случайный шум; г - широкополосный случайный шум.

спектральные плотности этих процессов. Формулы, по которым были построены эти графики, выводятся наряду с другими в гл. 5.

Для пар реализаций, принадлежащих двум разным стационарным случайным процессам, важное значение имеют совместные статистические характеристики, а именно:

1) совместные плотности вероятности;

2) взаимные ковариационные функции;

Рис. 1.14. (см. скан) Спектральные плотности: а — гармонический процесс; б - гармонический процесс плюс случайный шум; в — узкополосный случайный шум; г - широкополосный случайный шум.

3) взаимные спектральные плотности;

4) частотные характеристики;

5) функции когерентности.

Первые три функции описывают основные свойства пары реализаций по принимаемым ими значениям и по их свойствам во временной и частотной областях. По известным взаимной спектральной плотности и спектральным плотностям реализаций можно теоретически вычислить линейные частотные характеристики (амплитудные и фазовые характеристики), связывающие эти две реализации. В этом случае реализации считаются входом и выходом некоторой линейной системы. Функция когерентности характеризует точность принятой линейной модели и тоже может быть вычислена по измерениям спектральной и взаимной спектральной плотностей. Детально этот предмет рассматривается в гл. 5—7.

Плотности вероятности и функции распределения обычно применяются, помимо описания вероятностной структуры процесса, с целью;

1) проверки нормальности;

2) выявления нелинейностей;

3) анализа экстремальных значений.

Основные применения ковариационных функций охватывают:

1) выявление периодичностей;

2) выделение сигналов из шума;

3) измерение запаздываний;

4) локализацию источников помех:

5) идентификацию трактов и скоростей распространения сигналов.

В число типичных применений спектральных плотностей входят:

1) определение свойств систем по наблюдениям входных и выходных процессов:

2) предсказание выходных процессов по входным процессам и свойствам системы;

3) идентификация входных процессов по выходным процессам и свойствам системы;

4) задание динамических данных для тестовых программ;

5) идентификация источников энергии и шума;

6) оптимальный линейный прогноз и фильтрация.