7.2.4. УСЛОВНЫЕ СПЕКТРАЛЬНЫЕ ПЛОТНОСТИ

Если некоторая пара входных процессов коррелирована, то для правильного математического описания реальных систем следует по возможности выяснить степень влияния одного процесса на другой. Если это можно сделать, то исключение первого процесса приведет к вычитанию из второго процесса вклада первого за счет корреляции, так что останется только та часть второго процесса, которая никак не связана с первым. Более точно, если исходя из инженерных соображений можно утверждать, что корреляция между заключается во влиянии то следует определить оптимальный линейный вклад обозначим его Вычтя его из получим условный (иначе говоря, остаточный) процесс представляющий часть не связанную с Формально раскладывается в сумму двух некоррелированных членов (рис. 7.4):

Переходя к преобразованиям Фурье, получим

Рис. 7.4. Выделение вклада .

где

Последнее соотношение определяет оптимальный в среднеквадратичном смысле линейный прогноз по Преобразование Фурье равно

Линейная система с постоянными параметрами и частотной характеристикой - это оптимальная линейная система, прогнозирующая по взятым именно в этом порядке. Как показано в гл. задается отношением взаимной спектральной плотности входного и выходного процессов к спектральной плотности входного процесса:

Формула (6.61) показывает также, что такой выбор обеспечивает некоррелированность и приводит к разложению спектра

где — когерентный спектр выходного процесса:

спектр шума на выходе:

Отметим, что следует строго различать индексы и 22-1.

ПРИМЕР 7.2. ЛОЖНАЯ СИЛЬНАЯ КОГЕРЕНТНОСТЬ. На рис. 7.5 приводится пример ложной сильной когерентности. Предположим, что функция обычной когерентности процессов близка к единице. Отсюда можно было бы заключить, что существует реальная линейная система, которая связывает эти два процесса как входной и выходной. Пусть, однако, имеется третий процесс сильно когерентный с который преобразуется линейной системой в Тогда сильная когерентность и

Рис. 7.5. Пример ложной сильной когерентности.

отражает только тот факт, чтох, сильно когерентны связан линейной системой . В действительности может оказаться, что и вообще не связаны никакой реальной системой. Вычисление функции частной когерентности (которая будет определена ниже) показало бы, что ее значение очень мало и близко к нулю. На этом пример 7.2 заканчивается.

В тех случаях, когда причинно-следственные связи между входными процессами не ясны, следует вычислять взаимную ковариационную функцию этих двух процессов для определения относительного запаздывания, которое покажет, какой из процессов опережает другой. Как отмечалось в разд. 6.2.1, между двумя процессами, вызванными общим источником, может существовать сильная взаимная корреляция и сильная когерентность, хотя ни один из процессов не является причиной другого.

Если нет естественных причин для упорядочения процессов, а относительное запаздывание, определенное по взаимной ковариационной функции, незначительно, то рекомендуется вычислять функции обычной когерентности между каждым входным процессом и выходом. Процессы следует упорядочивать в соответствии со значениями функции обычной когерентности на особо важных частотах, скажем соответствующих максимумам спектра выходного процесса, где передается большая часть мощности или энергии. Например, если на некоторой частоте значения функции обычной когерентности для входных процессов равны то в качестве первого следует выбирать процесс с большим значением функции обычной когерентности. Аналогичное сравнение значений функций обычной когерентности на другой частоте может привести к иному упорядочению входных процессов. Таким образом, на разных частотах могут быть выбраны разные модели.

Для определенности будем считать, что процесс Предшествует Вместо рис. 7.2 следует взять соответствующий ему рис. 7.6, на котором Рис. 7.6 показывает, что входной процесс проходит на выход по двум параллельным трактам, в то время как условный входной процесс проходит по одному тракту. В явном виде эта ситуация изображена на рис. 7.7.

На исходном рис. 7.2 два наблюдаемых входных процессах коррелированы, полученные линейным преобразованием выходные

Рис. 7.6. Система, эквивалентная системе, изображенной на рис. 7.2.

процессы и тоже коррелированы. На эквивалентном рис. 7.7 входные процессы уже не коррелированы, что следует из способа их построения. Выходные процессы полученные линейным преобразованием входных процессов, тоже не коррелированы. Рисунок 7.7 эквивалентен рис. 7.8, если в качестве частотных характеристик взять

На рис. 7.8 изображена система с двумя входами и одним выходом, причем выходной процесс и шуми те же, что и на рис. 7.2. Однако входные процессы теперь не коррелированы, так что система, показанная на рис. 7.8, эквивалентна двум отдельным системам с одним входом и одним выходом, которые сейчас будут описаны. Линейная система с постоянными параметрами и частотной характеристикой это оптимальная линейная система, осуществляющая прогноз по а линейная система с постоянными параметрами и частотной характеристикой оптимальная линейная система, осуществляющая прогноз по

Рис. 7.7. Система, эквивалентная системе, изображенной на рис. 7.6.

Рис. 7.8. Система, эквивалентная системе, изображенной на рис. 7.7.

В формальной записи основное соотношение в частотной области, описывающее систему, изображенную на рис. 7.8, для стационарных случайных процессов имеет вид

где

Здесь взаимный спектр и ; - спектр взаимный спектр спектр

Величина называется условной (остаточной) взаимной спектральной плотностью, а величина условной (остаточной) спектральной плотностью.

Эти условные спектральные плотности можно вычислить по заранее определенным спектральным плотностям исходных наблюдаемых процессов с помощью простых алгебраических операций. Никакого усреднения условных преобразований Фурье не требуется, разве что для вывода соответствующих алгебраических соотношений. По определению, после взятия математических ожиданий для конечного имеем

Согласно формулам (7.43) и (7.45)

где Следовательно, для любых трех реализаций имеем

В частности, подставляя вместо получаем

т. е. спектр шума на выходе для системы с одним входным процессом одним выходным процессом (см. рис. 7.4). Аналогично замена на дает

что определяет спектр шума на выходе системы с одним входным процессом одним выходным процессом Формулы (7.52)-(7.54) - это алгебраические уравнения, позволяющие вычислить условные спектральные и взаимные спектральные плотности по спектрам исходных процессов.

Модель, изображенная на рис. 7.9, иллюстрирует формулу (7.54) и показывает разложение на сумму двух некоррелированных членов, представляющих часть линейно обусловленную оптимальным линейным преобразованием входного процесса и часть не связанную с . В частотной области эта модель описывается соотношением

где

Рис. 7.9. Выделение вклада

Отметим, что по сути дела эти формулы совпадают с формулами