13.2. Преобразование Гильберта и ковариационные функции

Одним из важнейших применений преобразований Гильберта является вычисление огибающих ковариационных функций с целью оценки запаздывания в задачах распространения энергии. Сейчас будут рассмотрены теоретические основы таких применений как для бездисперсного, так и дисперсного распространения сигналов.

13.2.1. ОПРЕДЕЛЕНИЕ КОРРЕЛЯЦИИ И ОГИБАЮЩЕЙ

Пусть стационарные случайные процессы с нулевым средним значением, ковариационными функциями и взаимной

ковариационной функцией Пусть соответствующие двухсторонние спектральные плотности, двухсторонняя взаимная спектральная плотность. Как отмечалось в разд. 5.2, ковариационные функции и соответствующие спектральные плотности образуют пары взаимных преобразований Фурье. Пусть преобразования Гильберта стационарных случайных процессов Поскольку преобразование Гильберта — линейная операция, то тоже стационарные случайные процессы. Поэтому для них совершенно так же, как и для можно определить ковариационные функции и спектральные плотности (обозначим их через причем соответствующие ковариационные функции и спектральные плотности образуют пары взаимных преобразований Фурье. Приведем точные определения:

Применяя преобразование Фурье, получим

С точностью до масштабного множителя (который в теоретических построениях значения не имеет, поскольку он участвует в обеих частях соотношений и, следовательно, сокращается) можно пользоваться определениями

Смешанные характеристики процессов и их преобразований Гильберта, а именно определяются следующим образом:

Функции частные случаи этих определений. Как и выше, с точностью до масштабного множителя можно определить непосредственно

Огибающие функций определяются через их преобразования Гильберта следующим образом. Огибающая есть

Огибающая имеет вид

Огибающая равна

В следующем разделе будут установлены свойства введенных выше величин и связь между ними.