10.5.2. АНАЛИЗ СОВОКУПНОСТИ РЕАЛИЗАЦИЙ

В предыдущем разделе были описаны методы анализа отдельных реализаций, полученных в результате эксперимента. Процедура определения наиболее важных статистических характеристик совокупности реализаций изображена схематически на рис. 10.13. Как и в случае анализа отдельных реализаций (рис. 10.12), при решении конкретных физических задач некоторые из рекомендованных на рис. 10.13 этапов обработки могут быть исключены и заменены при необходимости дополнительными видами обработки. Следует иметь в виду, что описываемые ниже приемы выполняются в предположении стационарности отдельных реализаций. Рассмотрим теперь каждый из блоков, показанных на рис. 10.13.

Анализ отдельных реализаций (блок А). Этот первый этап заключается в анализе необходимых статистических свойств отдельных реализаций (рис. 10.12). Поэтому блок А на рис. 10.13 должен содержать соответствующую часть схемы, изображенной на рис. 10.12.

Проверка коррелированности реализаций (блок Б). На следующем этапе анализа выясняется вопрос о существовании корреляции между

(кликните для просмотра скана)

отдельными реализациями совокупности. Во многих случаях для решения этой задачи достаточно беглого оценивания основных физических свойств процессов. Например, если ансамбль реализаций образован в результате наблюдений некоторых физических явлений и интервалы времени между получением отдельных реализаций достаточно велики, то можно без дальнейшего исследования считать эти реализации некоррелированными. С другой стороны, если совокупность представлена результатами одновременных измерений процессов на входе и выходе некоторой физической системы, то следует ожидать, что корреляция между реализациями существует. В тех случаях, когда отсутствие связи не вытекает с очевидностью из элементарных физических соображений, необходимо проведение специальной проверки, состоящей в вычислении взаимных корреляционных функций или функций когерентности (рис. 10.13).

Проверка эквивалентности некоррелированных реализаций (блок В). Если реализации признаны некоррелированными (блок Б), то следует проверить эквивалентность их статистических свойств. На этот важный этап анализа случайных процессов часто не обращают внимания. Нередко приходится встречать такие случаи, когда результаты анализа большой совокупности реализаций представляют в виде отдельных графиков, тогда как в действительности различия в результатах, полученных для отдельных реализаций, полностью можно объяснить дисперсией оценок. Формальное представление таких избыточных сведений обычно не приносит никакой пользы; оно скорее даже вредит исследованию. Действительно, излишне большой объем анализированного материала может без всякой необходимости усложнить интерпретацию результатов. Кроме того, неопытный исследователь может ошибочно придать физический смысл случайному разбросу отдельных оценок. Наконец, если результаты анализа статистически эквивалентных данных объединены до стадии интерпретации, то, как показано ниже, точность полученных оценок возрастает. Заметим, что для большинства прикладных задач эквивалентность оценок спектров может служить достаточным критерием эквивалентности реализаций, по которым построены эти оценки. Способ проверки эквивалентности спектральных оценок описан в разд. 10.5.3.

Объединение эквивалентных некоррелированных реализаций (блок Г). Результаты анализа отдельных реализаций, для которых установлена статистическая эквивалентность, должны быть объединены. Это делают путем расчета соответствующих средних взвешенных величин из оценок, полученных при анализе отдельных реализаций. Пусть, например, по двум некоррелированным реализациям получены оценки спектральной плотности, которые представляют статистически эквивалентные процессы. Если исходным оценкам соответствуют и усреднений, то новая, объединенная оценка спектральной плотности находится в виде

причем число усреднений для этой оценки составит Равенство (10.16) легко распространить на случай оценок некоррелированных, но эквивалентных выборок:

Функции отвечает теперь эквивалентное число усреднений

Согласно разд. 8.5.4, приближенное значение случайной ошибки оценки спектральной плотности есть и потому из формулы (10.18) следует, что операция объединения приводит к оценке автоспектра, обладающей меньшей случайной ошибкой.

Однако нужно также отметить, что операция объединения не приводит к уменьшению систематических ошибок (смещения) при оценке спектральной плотности (определение и анализ этих ошибок даны в разд. 8.5.1). Это обстоятельство зачастую вынуждает производить новую обработку реализаций, обладающих статистически эквивалентными свойствами, причем способы обработки строятся таким образом, чтобы уменьшить ошибки смещения. Для оценок спектральной плотности такая новая обработка может заключаться в пересчете оценок спектральной плотности по исходной реализации, но со значительно увеличенной разрешающей способностью по частоте. Это приводит к росту дисперсии оценки и уменьшению ошибки смещения. Последующее усреднение позволяет уменьшить дисперсию оценки.

Оценивание взаимных ковариационных функций (блок Д). Подобно автоковариационной функции и спектральной плотности, взаимная ковариационная функция и взаимная спектральная плотность представляют собой пару преобразований Фурье. Следовательно, получение взаимной ковариационной функции фактически не дает никакой новой информации о процессе, кроме той, которую содержит взаимный спектр. Однако эта функция позволяет иногда получить требуемую информацию в более удобной форме. В качестве примера можно привести определение задержки по времени между процессами, измеряемыми в двух точках. Такие измерения лежат в основе многих применений, описанных в работе [10.8]. Измерение взаимной ковариационной функции как отдельная стадия анализа представлено блоком Д. Заметим, что оценка взаимной ковариационной функции может служить показателем коррелированности двух отдельных реализаций; ее вычисление является иногда промежуточным этапом при расчете взаимной спектральной плотности.

Оценку взаимной ковариационной функции ищут обычно как обратное преобразование Фурье оценки взаимной спектральной плотности (см. разд. 11.6.2). Их статистическая точность рассмотрена в разд. 8.4.

Оценивание взаимных спектральных плотностей (блок . Наиболее важная часть анализа совместных характеристик совокупности коррелированных реализаций — это измерение взаимной спектральной плотности. Взаимная спектральная плотность содержит сведения о линейных зависимостях, которые могут наблюдаться между отдельными реализациями, принадлежащими данной совокупности. Физическая интерпретация этой информации часто непосредственно ведет к решению поставленных задач (см. гл. 6 и 7 и работу [10.8]).

Вычисление оценок взаимной спектральной плотности рассмотрено в разд. 11.6.3, а их статистическая точность — в разд. 9.1.

Оценивание функций когерентности (блок Ж). Оценки функций когерентности находят косвенным путем — по оценкам спектральной и взаимной спектральной плотностей. Различные типы этой функции (обычная, множественная и частная) применяются для разных целей. Во-первых, функции когерентности могут быть использованы как показатели коррелированности отдельных реализаций. Во-вторых, они играют весьма существенную роль при определении точности оценок частотных характеристик. И, во-вторых, с их помощью возможно иногда непосредственно решить некоторые задачи.

Вычисление функций когерентности рассмотрено в разд. 11.6.6, а их статистическая точность — в разд. 11.7. Примеры использования функции когерентности при решении инженерных задач содержатся в работе [10.8], а статистической точности ее оценок посвящены разд. 9.2.3 и 9.3.

Оценивание частотных характеристик (блок 3). Часто конечной целью анализа совокупности является установление линейных зависимостей между процессами, к которым принадлежат рассматриваемые реализации. Существование таких линейных соотношений может быть установлено по оценкам взаимных корреляционных функций, спектральных плотностей или функций когерентности. Однако вычисление частотных характеристик позволяет наилучшим образом описать линейные зависимости.

Формулы для вычисления частотных характеристик и их применения рассмотрены в разд. 11.4 и 11.7, а статистическая точность оценок этих функций — в разд. 9.2.4, 9.2.5 и 9.3.

Другие методы анализа совокупности реализаций (блок И). При совместном анализе совокупности реализаций в зависимости от целей конкретного исследования вычисляют и другие совместные характеристики. Сюда относятся такие более сложные спектральные характеристики, как обобщенные спектры, которые используются при анализе нестационарных процессов (см. гл. 12), а также преобразования Гильберта (см. гл. 13).