2.4. Примеры частотных характеристик

Для лучшего понимания частотных характеристик рассмотрим несколько примеров распространенных физических систем. Приводимые ниже примеры относятся к простым механическим и электрическим системам, поскольку они более наглядны. Проводится аналогия между свойствами механических, электрических и ряда других систем.

2.4.1. МЕХАНИЧЕСКИЕ СИСТЕМЫ

Рассмотрим простую механическую конструкцию, которую можно представить в виде системы с сосредоточенными параметрами, состоящей из массивного тела, пружины и демпфера, причем масса может смещаться только в одном направлении (рис. 2.1). На этом рисунке к — коэффициент жесткости пружины с — затухание масса

Рис. 2.1. Простая механическая система.

Перед определением частотной характеристики следует выяснить, какие входные и выходные параметры системы нас интересуют. Как будет показано ниже, для системы, изображенной на рис. 2.1, возможно несколько вариантов выбора таких параметров.

Сила как входной процесс и смешение тела как выходной процесс. Допустим, что в качестве входного сигнала нас интересует сила, приложенная к телу, а в качестве выходного сигнала — вызванное силой смещение тела (рис. 2.2). Здесь приложенная сила в ньютонах, соответствующее смещение тела в метрах.

Для определения частотной характеристики этой системы в первую очередь следует вывести уравнение движения. Для этого воспользуемся одним из основных положений механики, согласно которому сумма всех сил, действующих на массу, должна равняться нулю:

где

Рис. 2.2. Механическая система, входом которой служит сила.

Следовательно, уравнение движения Системы имеет вид

В разд. 2.3 частотная характеристика системы была определена как преобразование Фурье реакции системы на импульсное воздействие. В данном случае реакция системы — это смешение у (I); его преобразование Фурье дается формулой

Тогда преобразования Фурье имеют вид

Переходя к преобразованиям Фурье в обеих частях уравнения (2.19) с учетом того, что преобразование Фурье импульсного воздействия силы равно единице, получим следующее выражение:

Поэтому

где индекс указывает, что рассматриваемая функция связывает силу на входе и смещение на выходе системы.

Уравнение (2.21) целесообразно переписать в другой форме, введя обозначения

Величина из формулы (2.22а) безразмерная и называется коэффициентом затухания. Величина из формулы (2.226) называется собственной

частотой незатухающих колебаний и измеряется в герцах. Подставив эти величины в уравнение (2.21), получим следующее выражение:

Переписав выражение (2.23) в показательной форме, получим выражение для частотной характеристики в терминах амплитудной и фазовой характеристик:

где

Отметим, что размерность совпадает с размерностью т. е. измеряется в Эта функция иногда называется коэффициентом динамического усиления.

Графики задаваемых выражениями (2.24а) и (2.246), представлены на рис. 2.3. Особый интерес вызывают три свойства этих графиков. Во-первых, при амплитудная характеристика имеет максимум на частоте, несколько меньшей собственной частоты Частота, на которой достигается максимум амплитудной характеристики, называется резонансной частотой системы. В частности, минимизируя знаменатель из уравнения (2.24а), можно показать, что резонансная частота (обозначим ее равна

а максимальное значение амплитудной характеристики, достигаемое на этой частоте, есть

Во-вторых, если определить ширину полосы пропускания по уровню половинной энергии амплитудной характеристики системы как где

(кликните для просмотра скана)

то эта величина для рассматриваемой амплитудной характеристики приближенно выражается в предположении малости затухания через резонансную частоту как

В-третьих, фазовая характеристика меняется от 0° на частотах, много меньших до 180° на частотах, много больших . Вид кривой между этими крайними значениями фазового угла зависит от коэффициента затухания Однако фаза равна 90° независимо от величины

ПРИМЕР 2.3. РЕЗОНАНСНАЯ СИСТЕМА. Простая механическая система, подобная изображенной на рис. 2.1, имеет следующие параметры:

Определим собственную частоту незатухающих колебаний, коэффициент затухания, резонансную частоту и максимум амплитудной характеристики системы.

Собственную частоту незатухающих колебаний и коэффициент затухания находим по формулам (2.22):

Резонансная частота определяется по формуле (2.25):

а максимум амплитудной характеристики — по формуле (2.26):

На практике принято амплитудную характеристику физических систем представлять в безразмерном виде, умножая ее на коэффициент жесткости:

Эта величина часто называется добротностью системы и обозначается буквой Величина, обратная к обычно называется коэффициентом потерь и обозначается буквой . Для рассматриваемой системы На этом пример 2.3 заканчивается.

Возвращаясь к сказанному в разд. 2.3, можно следующим образом интерпретировать частотную характеристику Пусть к телу (рис. 2.2) приложена сила, изменяющаяся по гармоническому закону: Тогда смешение на выходе системы имеет вид

Эта интерпретация подсказывает иной метод определения частотной характеристики. Именно по гармоническому входному сигналу находим выходной сигнал, тогда частотная характеристика определяется по изменению амплитуды и сдвигу фазы выходного сигнала относительно амплитуды и фазы входного сигнала. Проиллюстрируем этот подход на примере рассматриваемой системы.

Реакция системы, изображенной на рис. 2.2, на гармонический входной сигнал задается решением уравнения (2.19); когда гармоническая функция, имеем

где обозначает мнимую часть Запишем теперь решение уравнения (2.29) в виде выходной гармонической функции общего вида:

После подстановки выражения (2.30) в уравнение (2.29) получим следующее соотношение:

Решение уравнения (2.29) находим из уравнений (2.30) и (2.31):

Используя обозначения, введенные в (2.22), и переходя к тригонометрическому представлению, получаем выражение для выходного сигнала у

где

Следовательно, выходной сигнал получается путем умножения амплитуды входного сигнала на амплитудную характеристику системы, определенную формулой (2.24а), и сдвига по фазе на величину, равную фазовой характеристике системы, определенной формулой (2.246).

Смещение основания как входной процесс и смещение массы как выходной процесс. Рассмотрим теперь другой случай, когда нас интересует воздействие смещения основания на смещение тела (рис. 2.4). Здесь исходное смещение основания, измеренное в метрах относительно среднего положения основания, а результирующее выходное смещение тела, измеренное в метрах относительно положения равновесия.

Как и ранее, исходя из основных законов механики, выводим уравнение движения системы

где

Следовательно, уравнение движения этой системы имеет вид

Как и ранее, частотная характеристика системы определяется преобразованием Фурье смещения вызванного импульсным смещением основания Беря преобразование Фурье от обеих частей уравнения (2.35) с учетом того, что преобразование Фурье функции равно получим следующее выражение:

Рис. 2.4. Механическая система, входом которой служит смещение основания.

Следовательно,

где индекс означает, что данная частотная характеристика связывает смещения на входе и выходе системы.

С учетом обозначений, введенных в (2.22), выражения (2.36) можно переписать в следующем виде:

В полярных обозначениях формула (2.37) записывается через амплитудную и фазовую характеристики:

где

Заметим, что безразмерная величина. Эта функция часто называется коэффициентом динамичности. Графики представлены на рис. 2.5. Отметим, что амплитудная характеристика имеет один максимум подобно амплитудной характеристике системы, изображенной на рис. 2.3. Однако детальный анализ амплитудной и фазовой характеристик, представленных на рис. 2.5, показывает, что они существенно отличаются от аналогичных характеристик, изображенных на рис. 2.3.

Другие сочетания входных и выходных сигналов. Приведенные выше два примера показывают, что в зависимости от типа исследуемого входного сигнала одна и та же простая механическая система описывается разными частотными характеристиками. На самом деле любое новое сочетание входных и выходных параметров, какое только может встретиться, приводит, как правило, к иной частотной характеристике. Например, в некоторых приложениях интересуются относительным смещением на выходе системы вызываемым смещением основания на входе, в то время как в других случаях важно знать

(кликните для просмотра скана)

(кликните для просмотра скана)

абсолютное ускорение на выходе в зависимости от скорости смещения основания на входе. В каждом случае получится несколько иная частотная характеристика. Для иллюстрации сказанного в табл. 2.1 приведены разнообразные амплитудные характеристики простой механической системы, изображенной на рис. 2.1, соответствующие 21 разному сочетанию входных и выходных параметров.

ПРИМЕР 2.4. РЕАКЦИЯ СИСТЕМЫ НА УСКОРЕНИЕ ОСНОВАНИЯ. Простая механическая система, подобная показанной на рис. 2.4, подвергается смещению основания, измеряемому в единицах абсолютного ускорения. Полагая, что коэффициент затухания системы равен определим смещение массы относительно основания на частотах, меньших частоты собственных незатухающих колебаний.

Соответствующую амплитудную характеристику возьмем из табл. 2.1:

Значения нормированной естественным образом амплитудной характеристики при таковы:

Заметим, что значения амплитудной характеристики примерно постоянны на частотах, существенно более низких, чем частота собственных незатухающих колебаний системы. По этой причине такая система лежит в основе одного из типов датчиков ускорения, называемых сейсмическими акселерометрами, последние будут рассмотрены в гл. 10.

2.4.2. ЭЛЕКТРИЧЕСКИЕ СИСТЕМЫ

Рассмотрим простую электрическую цепь, которая представляется в виде системы с сосредоточенными параметрами, состоящей из индуктивности, сопротивления и конденсатора. Предположим далее, что входом системы служит разность потенциалов, как показано на рис. 2.6. На этом рисунке С — емкость в фарадах, сопротивление в омах, индуктивность в генри, приложенный потенциал в вольтах, результирующий ток в амперах. Заметим, что где заряд в кулонах.

Предположим, что в качестве входного сигнала нас интересует

Рис. 2.6. Электрическая цепь, на вход которой подается напряжение.

приложенное напряжение, а в качестве выходного — результируюшй заряд. Как и при анализе механической системы (разд. 2.4.1), для определения соответствующей частотной характеристики сначала нужно вывести дифференциальное уравнение, описывающее систему. Согласно основным положениям теории электрических цепей, сумма всех разностей потенциалов на элементах цепи должна равняться нулю. Следовательно,

где

Поэтому дифференциальное уравнение системы имеет вид

Отметим сходство между уравнением (2.40) и уравнением движения механической системы под воздействием силы (2.19). Используя тот же метод анализа, который был описан в разд. 2.4.1, непосредственно получаем, что частотная характеристика этой простой электрической системы имеет вид

где индекс означает, что данная связывает напряжение на входе и заряд на выходе. Заметим, что измеряется в кулонах на вольт.

График идентичен графику частотной характеристики механической системы представленному на рис. 2.3, если только в качестве коэффициента затухания и частоты собственных незатухающих

колебаний электрической цепи взять величины

Совершенно ясно теперь, что между механической и электрической системами существует прямая аналогия (табл. 2.2).

Обычно для описания электрических систем применяется частотная характеристика, связывающая напряжение на входе и ток на выходе. Эта частотная характеристика имеет вид

где измеряется в амперах на вольт. Функция, обратная к функции (2.43) (обозначим ее называется полным сопротивлением (импедансом):

Заметим, что механическим аналогом величины (2.44), согласно табл. 2.2, служит

Таблица 2.2. (см. скан) Аналогия между механическими и электрическими системами

Таблица 2.3. (см. скан) Аналогия между различными физическими системами

Функция (2.45) часто называется механическим импедансом по аналогии с обычным электрическим импедансом.

2.4.3. ДРУГИЕ СИСТЕМЫ

Аналитические методы, описанные в разд. 2.4.1, позволяют (по крайней мере в принципе) найти частотную характеристику любой четко заданной линейной системы с постоянными параметрами, если она физически осуществима и устойчива. Более того, частотные характеристики разных физических систем часто имеют сходный вид, как мы только что видели в разд. 2.4.2 на примере механической и электрической систем (см. табл. 2.2). В табл. 2.3 дается сводка аналогичных характеристик некоторых распространенных физических систем.