Глава 2. ЛИНЕЙНЫЕ ФИЗИЧЕСКИЕ СИСТЕМЫ
До детального обсуждения процедур измерения и анализа случайных физических данных желательно пояснить некоторые важные понятия и основные определения, относящиеся к динамике физических систем. В этой главе дается обзор теоретических формул, описывающих характеристики отклика идеальных линейных систем; основные представления иллюстрируются простыми примерами из физики.
2.1. Линейные системы с постоянными параметрами
Идеальная система — это система, которая имеет постоянные параметры и в которой две четко определенные фиксированные характеристики, именуемые входными (возбуждение) и выходными (отклик), линейно связаны между собой. Система имеет постоянные параметры, если все ее основные свойства неизменны во времени. Например, простая пассивная электрическая цепь будет системой с постоянными параметрами, если значения сопротивления, емкости и индуктивности всех элементов одинаковы в разные моменты времени. Система линейна, если ее реакция аддитивна и однородна. Термин «аддитивна» означает, что реакция на сумму двух входных сигналов равна сумме реакций на каждый сигнал в отдельности. Термин «однородна» означает, что реакция на произведение постоянной и входного сигнала равна произведению этой постоянной и реакции, вызываемой одним лишь сигналом. Формально, если 
обозначает реакцию на входной сигнал х, то система линейна в том случае, когда для любых двух входных сигналов 
и постоянной с имеют место свойство аддитивности
и свойство однородности
Предположение о постоянстве параметров на практике выполняется с разумной точностью для многих физических систем. Например, основные свойства электрической цепи или механической конструкции обычно не испытывают существенных изменений на протяжении промежутков времени, представляющих практический интерес. Разумеется, есть и исключения. Параметры электрического сопротивления могут измениться под взаимодействием высокой температуры, а жесткость конструкции — из-за накопления усталости, вызванной постоянной вибрацией. Кроме того, в некоторые физические системы зависимость параметров от времени заложена конструктивно и необходима для выполнения системой ее функций. Очевидный пример дают электронные системы связи. Однако подобные случаи являются скорее исключениями и легко выявляются на практике.
С предположением о линейности дело обстоит сложнее. Все физические
системы становятся нелинейными при экстремальных значениях входных сигналов. Например, в электрическом конденсаторе в конце концов происходит пробой при нарастании напряжения, и, следовательно, проходящий через него ток уже не будет пропорционален приложенному напряжению; металлический трос в конце концов оборвется при увеличении нагрузки, и, следовательно, напряжение уже не будет пропорционально нагрузке. Трудности усугубляются тем, что обычно нелинейные эффекты проявляются постепенно, начиная с некоторого момента времени. Например, связь между нагрузкой и напряжением в металлическом тросе обычно начинает отклоняться от линейной задолго до момента обрыва. Тем не менее характеристики отклика многих физических систем можно считать линейными, во всяком случае в некоторой ограниченной области значений входных сигналов, не рискуя совершить серьезных ошибок.
ПРИМЕР 2.1. НЕЛИНЕЙНАЯ СИСТЕМА. Рассмотрим простую систему с квадратичной реакцией, в которой выходной сигнал имеет вид
Для любых двух входных сигналов, 
а свойство аддитивности из соотношения (2.1а) требует, чтобы
Далее, для произвольной постоянной с
а свойство однородности из соотношения (2.16) требует, чтобы
Следовательно, эта система нелинейна, поскольку она не обладает ни свойством аддитивности, ни свойством однородности.
