11.5. Функция спектральной плотности

Прежде оценки спектральной плотности строились обычно с помощью методов, основанных на формуле (5.34), т. е. вначале по соотношению (11.86) рассчитывалась опенка ковариационной функции, а затем оценка спектральной плотности вычислялась как ее преобразование Фурье при соответствующем значении максимального сдвига. Такой подход, называемый обычно методом Блэкмана — Тьюки, требует гораздо большего числа операций, чем прямой метод расчета с помощью БПФ, основанный на определении спектра формулой (5.67). Поэтому теперь его рекомендовать нельзя. В принципе ход вычислений при непосредственном использовании БПФ очевиден, одиако при этом требуется ряд «улучшающих» операций, которые часто осуществляют дополнительно для повышения качества оценок. Эти вопросы обсуждаются ниже.

11.5.1. ОСНОВЫ ОЦЕНИВАНИЯ АВТОСПЕКТРОВ

Рассмотрим реализацию длиной принадлежащую стационарному случайному процессу и имеющую нулевое среднее значение Разобьем ее, как показано на рис. 11.7, на смежных отрезков длиной каждый и обозначим эти отрезки через где Разделив соотношение (8.153) справа и слева на 2, получим оценку двусторонней спектральной плотности на произвольной частоте в виде

Рис. 11.7. Разбиение реализации на отрезков длиной

где

Приближение к математическому ожиданию (5.67) получается усреднением индивидуальных оценок

При дискретном временнбм параметре каждая реализация представлена значениями временного ряда Финитное преобразование Фурье, отвечающее формуле (11.98), даст значения спектральной плотности на дискретных частотах

При этом коэффициенты Фурье для каждого отрезка определяются равенством (11.38) в виде

Оценка двусторонней спектральной плотности (11.98) принимает вид

Как отмечалось в разд. 11.2.4, частоте Найквиста при использовании БПФ отвечает значение индекса Поэтому первые значений спектральной плотности при задают опенку спектра в диапазоне частот от а остальные значений (при можно рассматривать как оценку спектра в интервале частот Поскольку функция спектральной плотности вещественна, из формулы (11.77) следует, что

Односторонняя функция спектральной плотности оценивается непосредственно по соотношению (11.101) как

Число отсчетов в формулах (11.101) и (11.102) при каждом БПФ часто называют размером блока, и оно служит ключевым параметром, определяющим разрешающую способность по частоте:

С другой стороны, от числа усреднений зависит случайная ошибка оценки спектра (см. разд. 8.5.4). Заметим, что при осуществлении БПФ по алгоритму Кули — Тьюки размер выборки удобно выбирать как целую степень числа 2, т. е. принимать (см. разд. 11.2.3).