7.2.5. ФУНКЦИИ ЧАСТНОЙ КОГЕРЕНТНОСТИ

Вернемся к рис. 7.8. Поскольку выходные процессы не коррелированы, то наблюдаемый спектр выходного процесса равен сумме спектральных плотностей этих трех процессов, причем в этой сумме не участвуют взаимные спектры, а именно

Здесь

Символом обозначена часть спектра не связанная ни с ни Заметим также, что первый выходной процесс на рис. 7.8 совпадает с выходным процессом на рис. 7.9. Первая спектральная плотность

есть обычный когерентный спектр выходного процесса системы с одним входным процессом и одним выходным процессом (рис. 7.9). Здесь

есть функция обычной когерентности между

Вторая составляющая спектральной плотности

где

называется функцией частной когерентности условных процессов показанных соответственно на рис. 7.4 и 7.9. Поэтому

Рис. 7.10. Система с одним условным входным процессом и условным процессом на выходе.

называется частным когерентным спектром выхода системы с условным входным процессом и условным выходным процессом (рис. 7.10), где соответствует и (рис. 7.8).

Рис. 7.10 полностью совпадает с рис. 7.9, за исключением того, что:

1) исходные процессы заменены условными процессами

2) исходные спектральные плотности заменены условными спектральными плотностями

3) функция обычной когерентности заменена функцией частной когерентности

Это сопоставление показывает, что функции частной когерентности играют такую же роль, как и функции обычной когерентности с тем только отличием, что первые определяются по условным процессам, а вторые — по исходным. Из неравенства для взаимных спектральных плотностей (5.82) следует, что для всех

Система с двумя входами, на которые поступают некоррелированные процессы, и одним выходом, изображенная на рис. 7.8, эквивалентна двум отдельным системам с одним входом и одним выходом, показанным на рис. 7.9 и 7.10. Заметим, в частности, что входной процесс (рис. 7.9) преобразуется в выходной процесс а условный входной процесс (рис. 7.10) преобразуется в выходной процессу. Этот входной процесс не влияет на выходной процесс Еще одно важное замечание заключается в том, что взаимный спектр совпадает с взаимным спектром Другими словами, если из исключен вклад за счет корреляции, что дает процесс то при определении не обязательно исключать вклад за счет корреляции, т. е. не обязательно строить процесс Для того чтобы убедиться в этом, докажем соотношение

Из соотношений (7.44) и (7.58) имеем

Тогда

Однако

Этим соотношение (7.68) доказано.

Выведем формулу для спектра шума на выходе системы, изображенной на рис. 7.10, совпадающего с искомым спектром шума на выходе системы, показанной на рис. 7.8. Этот спектр имеет вид

Подставив вместо его выражение из формулы (7.54), получим

Функция множественной когерентности определенная формулой (7.35), для двух коррелированных входных процессов равна

Эта формула устанавливает связь функции множественной когерентности с функциями обычной и частной когерентности при данном упорядочении двух процессов, т. е. если предшествует

Описанный подход будет обобщен на системы с тремя произвольными коррелированными процессами на входе и одним процессом на выходе, причем аналогичные процедуры можно построить для анализа общих систем с несколькими входами и одним выходом. Следует отличать исходные модели с неупорядоченными входами от условных моделей с упорядоченными входами, которые строятся при обработке данных. В примерах 7.3 и 7.4 анализируются результаты наблюдений системы с тремя входами и одним выходом. Соответствующие формулы выводятся в разд. 7.3.

ПРИМЕР 7.3. ВЫЧИСЛЕНИЕ ФУНКЦИИ ЧАСТНОЙ КОГЕРЕНТНОСТИ. Рассмотрим систему с тремя входами и одним выходом, на который

накладывается шум. Тракты системы представляют собой низкочастотные RС-фильтры (рис. 7.11). Заметим, что входной процесс коррелирован как с так и с . В какой степени входной процесс когерентен с выходным процессом по своему тракту?

Для того чтобы ответить на этот вопрос, в полосе частот примерно от 0 до 1000 Гц были вычислены функции обычной и частной когерентности между входным процессом и выходным процессом с разрешением 32 Гц по реализации длиной . Результаты этих вычислений представлены на рис. 7.12. Рис. показывает, что когерентность между и довольно высокая по всей полосе частот, она близка к единице на низких частотах, а на высоких частотах равна примерно 0,95. Однако частично это связано с тем, что и когерентны с и вносят свой вклад в выходной процесс непосредственно по своим собственным трактам. Функция частной когерентности и указывает на меньшую когерентность (до 0,75), как видно из рис. 7.12, б.

ПРИМЕР 7.4. ВЫЧИСЛЕНИЕ ФУНКЦИИ МНОЖЕСТВЕННОЙ КОГЕРЕНТНОСТИ. Рассмотрим снова систему с тремя входами и одним выходом, описанную в примере 7.3 и показанную на рис. 7.11. На рис. 7.13 изображена функция множественной когерентности, вычисленная для выходного процесса и трех входных процессов . Заметим, что функция множественной когерентности принимает большие значения (более 0,96) во всей полосе частот, но с ростом частоты несколько уменьшается. Единственная причина, по которой функция множественной когерентности не равна единице во всей полосе частот, — наличие инструментального шума на выходе. Поскольку инструментальный шум имеет равномерный спектр, а входные процессы проходят через фильтры низких частот, то относительный вклад инструментального шума в суммарный выходной сигнал растет с увеличением частоты. Об этом отчетливо свидетельствует уменьшение функции множественной когерентности по мере увеличения частоты.

Рис. 7.11. Система с тремя входными и одним выходным процессами и шумом на выходе.

Рис. 7.12. (см. скан) Функции когерентности между входным процессом и выходом системы, изображенной на рис. 7.11: а — функция обычной когерентности; 6 — функция частной когерентности.