5.3.3. ГАУССОВЫ СЛУЧАЙНЫЕ ПРОЦЕССЫ

Дадим формальное определение гауссова случайного процесса. Случайный процесс называется гауссовым, если для любого набора фиксированных моментов времени случайные величины подчиняются многомерному нормальному распределению, определенному формулой (3.62). Гауссовы случайные процессы преобладают в практических задачах; часто наличие гауссова свойства можно предсказать на основании многомерной центральной предельной теоремы. Можно показать также, что в результате линейного преобразования гауссова процесса снова получается гауссов процесс. Это свойство играет важную роль во многих практических и теоретических применениях теории случайных процессов.

Рассмотрим реализацию эргодического гауссова процесса с нулевым средним значением. Заметим, что индекс к можно уже не указывать, поскольку свойства любой выборочной функции характеризуют все остальные выборочные функции. В силу эргодического свойства поведение на большом временном интервале обладает теми же статистическими свойствами, что и аналогичные средние по ансамблю в фиксированные моменты времени. В качестве следствия получаем, что плотность вероятности, связанная с мгновенными значениями на большом интервале времени, является гауссовой с нулевым средним значением:

Когда имеет нулевое среднее, дисперсия равна

и не зависит от Для больших

Следовательно, гауссова плотность полностью характеризуется функциями или так как по каждой из них можно определить Это важное свойство выдвигает определение или в число первостепенных задач анализа случайных процессов. Заметим, что на вид спектральных плотностей или соответствующих ковариационных функций не накладывается никаких ограничений.

Если среднее значение не равно нулю, то исходная плотность является гауссовой общего вида:

где среднее значение равно

и не зависит от Для больших Т

а дисперсия равна

Пусть стационарный гауссов случайный процесс (индекс к опущен для простоты обозначений). Рассмотрим две случайные величины для двух произвольных фиксированных моментов времени Предположим, что подчиняются двумерному (совместному) гауссову распределению с нулевыми средними значениями и одинаковыми дисперсиями Тогда, по определению,

Величина это коэффициент корреляции из формулы (5.16) при

Если положить то совместная гауссова плотность вероятности есть

Все свойства, перечисленные в гл. 3, справедливы для гауссовых случайных процессов, рассматриваемых на наборе фиксированных моментов времени.

Рассмотрим четыре случайные величины с нулевыми средними значениями, которые имеют четырехмерное гауссово распределение. По формуле (3.72)

В частности, пусть стационарная взаимная ковариационная функция вида

Из формулы (5.128) непосредственно следует, что

Этот результат используется в гл. 8 (формула (8.94)).