5.2.5. ВЗАИМНАЯ СПЕКТРАЛЬНАЯ ПЛОТНОСТЬ ПРИ НАЛИЧИИ ЗАПАЗДЫВАНИЯ

Согласно формуле (5.20), взаимная ковариационная функция в задаче определения запаздывания (см. рис. 5.1) равна

Подставив в формулу (5.27), получим двустороннюю взаимную спектральную плотность

Соответствующая односторонняя взаимная спектральная плотность имеет вид

Поэтому в силу формулы (5.41)

Следовательно, сдвиг времени участвует только в фазовом угле Измерение позволяет определить сдвиг времени, поскольку линейная функция от с наклоном, равным (рис. 5.6). Коэффициент затухания а на всех частотах равен

Рис. 5.6. Типичный график зависимости фазового угла от частоты в задаче определения запаздывания.

Односторонние спектральные плотности передаваемого сигнала и принимаемого сигнала для схемы, изображенной на рис. 5.1, равны соответственно где

Этот результат также непосредственно следует из формулы (5.26). Для любого значения согласно формулам (5.84) и (5.91), функция когерентности равна

Заметим, что имеет две составляющие — соответственно вклад в спектр и вклад в спектр

Эти результаты более содержательны по сравнению с усредненными по всем частотам результатами, приведенными в (5.25), где отсутствует зависимость от частоты.

С учетом выражения (5.94) для функция когерентности из формулы (5.95) принимает вид

где все члены в правой части неотрицательны. Очевидно, что для всех значений поскольку знаменатель не может быть меньше числителя. В эквивалентной форме

И здесь очевидно, что для всех так как Если то если же то

Определение положения максимума. Из формул (5.21) и (5.28) следует, что максимум равен

Обозначим оценки соответственно через Тогда

Уравнение (5.98) перепишем в виде

поскольку принимает только действительные значения. В точке максимума

По формуле (5.92) , так что

Отсюда следует приближенная формула

Решив это уравнение относительно получим

Используя односторонние спектральные плотности вместо двусторонних придем к эквивалентной формуле