5.4.3. МАТЕМАТИЧЕСКОЕ ОЖИДАНИЕ ЧИСЛА ПЕРЕСЕЧЕНИЙ ОСИ АБСЦИСС

Рассмотрим реализацию стационарного случайного шума имеющего производную совместная плотность при По определению, для всех

Иначе говоря, оценивает вероятность того, что в тот момент, когда лежит в интервале , ее производная заключена между Эта вероятность равна доле единичного интервала времени, которую проводит внутри интервала , причем значение производной заключено между Если пренебрежимо мало по сравнению с то последнее означает, что производная просто равна

Для определения математического ожидания числа пересечений реализацией интервала надо время, проведенное внутри этого интервала, разделить на время, нужное для пересечения этого интервала. Если время пересечения интервала при данном значении производной то

где стрит абсолютное значение так как время пересечения — положительная величина. Следовательно, математическое ожидание числа прохождений через интервал в единицу времени при данном значении равно

В пределе при получаем, что математическое ожидание обшего числа пересечений в единицу времени реализацией линии а при всех возможных значениях есть

Эта величина задает математическое ожидание числа пересечений уровня а в единицу времени как снизу вверх, так и сверху вниз. Предполагая, что половина пересечений уровня а реализацией происходит снизу вверх, а половина — сверху вниз, получим, что реализация пересекает уровень а снизу вверх в среднем раз в единицу времени.

Математическое ожидание числа нулей реализации на единичном интервале времени равно общему числу пересечений уровня как снизу вверх, так и сверху вниз. Эта величина равна при

Значение можно истолковать как удвоенную «кажущуюся» частоту реализации шума. Например, если бы реализация представляла собой идеальный гармонический процесс с частотой герц, то равнялось бы нулей в секунду (скажем, гармонический процесс с частотой 60 Гц имеет Для случайного шума ситуация более сложная, тем не менее знание и ряда других величин дает возможность охарактеризовать шумовой процесс.

Для произвольной реализации стационарного случайного процесса с нулевым средним и ее производной имеем из формул (5.145) и (5.150):

Из формул (5.166) и (5.168) следует также, что

Предположим теперь, что имеют нулевое среднее и подчиняются двумерному нормальному распределению с указанными выше дисперсиями и нулевой ковариацией. Тогда

где

Подставляя выражение (5.185) в формулу (5.178), находим, что

В частности, при имеем

Используя можно записать

Эти результаты заимствованы из книги [5.1], впервые они были получены Райсом [5.5], который пользовался другим методом доказательства.

ПРИМЕР 5.12. ЧИСЛО ПЕРЕСЕЧЕНИЙ ОСИ АБСЦИСС НИЗКОЧАСТОТНЫМ БЕЛЫМ ШУМОМ. Для иллюстрации приведенных выше формул рассмотрим низкочастотный белый шум, сосредоточенный в полосе частот от 0 до В герц, т. е. при 0 в остальных случаях Тогда

По формуле (5.189) имеем

Детерминированный гармонический процесс с частотой В герц имел бы Поэтому можно заключить, что низкочастотный белый шум с полосой частот, ограниченной В герц, имеет кажущуюся частоту, составляющую примерно 0,58 граничного значения В.

Задачи

(см. скан)

(см. скан)