11.1.3. ПРИМЕНЕНИЕ ЦИФРОВЫХ ФИЛЬТРОВ

Фильтрация данных, предшествующая их детальному анализу, может выполняться для различных целей, например для выделения периодических компонент, как основной элемент «наплывающего» преобразования Фурье (см. разд. 11.5.4) или для исключения ошибок маскировки частот до «прореживания» исходных данных. Последнее приложение особенно важно, поскольку операция прореживания выполняется во многих случаях для уменьшения объема данных, подлежащих дальнейшему анализу. По определению, прореживание порядка заключается в сохранении в исходной последовательности каждого наблюдения при игнорировании всех прочих. Таким образом, последовательность, имевшая прежде интервал дискретности преобразуется в последовательность с интервалом дискретности При этом новая частота Найквиста равна а составляющие с более высокими частотами преобразуются (маскируются) переходом в диапазон частот от 0 до Чтобы избежать ошибок маскировки

Рис. 11.1. (см. скан) Удаление линейного тренда.

частот, исходные данные следует предварительно пропустить через низкочастотный фильтр, подавляющий компоненты с частотами выше Заметим, что эта операция не исключает необходимости фильтрации из исходного ряда составляющих с частотами выше при помощи низкочастотного аналогового фильтра.

Цифровым фильтром можно пользоваться как во временной, так и в частотной области. Фильтрация в частотной области соответствует умножению преобразования Фурье исходной реализации на частотную характеристику фильтра и выполнению затем обратного преобразования Фурье. Если исходный ряд, то отфильтрованная последовательность есть

где означает обратное преобразование Фурье, преобразование Фурье реализации Такой способ фильтрации обладает рядом достоинств, к числу которых относятся простота понимания и отсутствие необходимости задавать аналитическое выражение для частотной характеристики фильтра. Однако он может оказаться громоздким и неэкономичным в вычислительном отношении, если, как это часто бывает, длина исходного временного ряда настолько велика, что его неудобно держать полностью в памяти ЭВМ. В этих случаях фильтрацию приходится осуществлять поэтапно для отдельных смежных отрезков исходного ряда.

Фильтры, применяемые во временной области, можно разбить на два типа:

а) нерекурсивные фильтры, или фильтры с конечной импульсной переходной функцией (ФКИПФ).

б) рекурсивные фильтры, или фильтры с бесконечной импульсной переходной функцией (ФБИПФ).

Нерекурсивные фильтры (ФКИПФ) имеют вид

Эта формула представляет собой дискретный аналог уравнения свертки (6.1)

где импульсная переходная (весовая) функция фильтра. Подобным же образом есть импульсная переходная функция цифрового фильтра. Примерами ФКИПФ могут служить классические приемы сглаживания, интерполяции, экстраполяции, дифференцирования и интегрирования временных рядов.

Рекурсивным (ФБИПФ) называется цифровой фильтр, для которого значение последовательности на выходе определяется не только конечным числом прошлых значений исходного ряда, но также и предшествующими

значениями выходного процесса, которые также рассматриваются как вход фильтра (в технике это называется обратной связью). Простейшая запись рекурсивного фильтра имеет вид

т. е. фильтр использует значений выходного процесса и только одно входного. В более общем случае число значений выходного процесса не меняется, а число значений входного процесса возрастает. Формула (11.20) иллюстрируется рис. 11.2, где треугольники обозначают операцию умножения на соответствующие величины, квадраты — задержку по времени на между смежными точками и, наконец, окружность соответствует операции суммирования.

Преобразование Фурье равенства (11.20) дает

причем сумма содержит многочлен по степеням экспоненты Обозначая последнее выражение символом можно воспользоваться для изучения свойств цифровых фильтров теорией -преобразований. Как следует из формулы (11.21), частотная характеристика всей системы имеет вид

Таким образом, изучение свойств частотной характеристики сводится к определению положения и характера полюсов в знаменателе последнего выражения.

Рассмотрим в качестве примера рекурсивный цифровой фильтр

Рис. 11.2. Схема простого рекурсивного фильтра.

где . В непрерывном случае это выражение эквивалентно низкочастотному RС-фильтру. Чтобы убедиться в этом, заметим, что, согласно формуле (11.22),

Здесь квадрат амплитудной характеристики равен

Отметим, что если то Если, кроме того, то справедливо приближенное равенство . В этом случае

что соответствует обычному низкочастотному RС-фильтру.

Синтез рекурсивных цифровых фильтров, дающих хорошее приближение к фильтрам Баттерворта, может быть выполнен при помощи формулы (11.22) путем нахождения последовательности весов и коэффициента с, таких, что соответствующая им величина имеет вид

Заметим, что значение квадрат модуля частотной характеристики равен 1/2. На частоте Найквиста величина при больших стремится к единице. Таким образом, в интервале наиболее важном в дискретном случае, фильтр, описываемый уравнением (11.27), ведет себя как низкочастотный фильтр Баттерворта:

где частота, соответствуюшая половинной энергии, а величина К определяет наклон кривой Более детальное описание математических основ синтеза рекурсивных цифровых фильтров содержится в работах [11.1 — 11.4].

ПРИМЕР 11.1. РЕКУРСИВНЫЙ ЦИФРОВОЙ ФИЛЬТР. Пусть исходный временной ряд получен при скорости дискретизации, равной 1000 отсчетов в секунду. Предполагается выполнить его низкочастотную фильтрацию с помощью простого RC-фильтра с частотой пропускания по уровню половинной энергии, равной . Требуется построить необходимый для этой цели рекурсивный цифровой фильтр.

Согласно соотношению (11.26), частота пропускания по уровню половинной энергии соответствует значению частотной характеристики Поскольку в этом случае имеем

Таким образом, Этот результат можно проверить подстановкой в выражение (11.25), что дает . В соответствии с формулой (11.23) искомый низкочастотный фильтр задается уравнением