7.2. Системы с двумя входами и одним выходом

Для того чтобы лучше понять основные этапы анализа систем с произвольным числом входных процессов, рассмотрим частные случаи систем с двумя и тремя входами. Общий случай исследуется аналогично с очевидными изменениями. В этом разделе подробно изучены системы с двумя входами. Соотношения для систем с тремя входами и одним выходом будут выведены в разд. 7.3.

7.2.1. ОСНОВНЫЕ СООТНОШЕНИЯ

Рассмотрим систему с двумя входами и одним выходом (рис. 7.2), в которой входные процессы могут быть коррелированы. Предположим, что доступны наблюдению. Такая система описывается следующим соотношением в терминах преобразований Фурье:

При произвольном которое может коррелировать с односторонняя спектральная плотность процесса вычисляемая согласно формулам (7.5)-(7.8) по достаточно длинной реализации конечной длины равна

Рис. 7.2. Система с двумя входными и одним выходным процессами.

где зависимость от и предельный переход по не указаны для упрощения обозначений. Из (7.18) имеем

где последние четыре слагаемых в правой части присутствуют только в том случае, когда и коррелирован с

При произвольном и взаимные спектральные плотности и как и вычисляются аналогично:

Здесь зависимость от и предельный переход по тоже не указаны для простоты обозначений. Члены и присутствуют только тогда, когда коррелирован с

По можно найти следующие односторонние спектральные характеристики:

Все спектральные характеристики, связанные с неизвестны. В частности, уравнения (7.20) и (7.21) нельзя решить относительно за исключением случая, когда

Если не коррелирован с то уравнения (7.20) и (7.21) принимают вид

Решив эти уравнения относительно в предположении получим

где величина

является обычной функцией когерентности. В частном случае некоррелированных входных процессов, когда члены равны нулю и формулы (7.23) сводятся к формулам для систем с одним входом и одним выходом:

Случай требует осббого рассмотрения. Если функция когерентности равна единице, то отсюда следует, что между существует строго линейная зависимость. Поэтому должна существовать линейная система, связывающая эти процессы (рис. 7.3). Следовательно, первый входной процесс фактически поступает на выход по двум разным трактам. В этом случае преобразование в описывается одной частотной характеристикой

Если не коррелирует с но то формула (7.19) принимает вид

Перепишем ее иначе:

где вклад шума в автоспектр выходного процесса, а

Рис. 7.3. Система с двумя полностью коррелированными входными процессами.

идеальный спектр на выходе системы, определяемый первыми четырьмя членами формулы (7.26), зависящими от двух входных процессов. Точнее говоря, вычисляется по известным а также по найденным по общей формуле (7.23). Наконец, даже если не наблюдается, спектральную плотность можно найти по формуле

В частном случае некоррелированных входных процессов, когда идеальный спектр выходного процесса равен

где задаются формулами (7.25),

Здесь функции обычной когерентности:

Для некоррелированных входных процессов имеем

Величина задает спектральную плотность выходного процесса системы с частотной характеристикой входом которой служит только Аналогично задает спектральную плотность выходного

процесса системы с частотной характеристикой входом которой служит только процесс Эти две величины представляют собой обычные когерентные спектры выходного процесса соответственно для входного процесса и выходного процесса у и входного процесса и выходного процесса у.