13.2.4. ЗАДАЧИ БЕЗДИСПЕРСНОГО РАСПРОСТРАНЕНИЯ

Рассмотрим простейший вариант бездисперсного распространения сигнала, описываемый формулой (5.19). Для простоты будем считать, что отсутствует, так что

Пусть ограниченный по частоте белый шум, определенный формулой (5.48), т. е.

Тогда

Здесь центральная частота идеального фильтра с полосой пропускания В, причем спектральная плотность постоянна в этой полосе и равна нулю вне ее. Запаздывание постоянная величина. График функции (13.89) показан на рис. 13.3.

Следует отметить несколько особенностей формулы (13.89), верной в случае бездисперсного распространения сигнала.

1. Косинусоида с центральной частотой модулируется огибающей которая определяется шириной полосы пропускания В.

2. Максимальное значение огибающей соответствует запаздыванию которое постоянно и не зависит от частоты.

3. Пики косинусоиды соответствуют запаздываниям где произвольное целое число. В частности, положение максимального значения косинусоиды совпадает с положением максимального значения огибающей.

4. Главный максимум огибающей заключен между точками и имеет ширину В главном максимуме содержится колебаний косинусоиды.

Рис. 13.3. Типичная нормированная взаимная ковариационная функция при бездисперсном распространении сигнала по одному тракту.

Три важных класса задач бездисперсного распространения сигналов, в которых требуется вычислять огибающие взаимных ковариационных функций, иллюстрируются приведенными ниже примерами. Как и во всех инженерных задачах, при планировании экспериментов и вычислении оценок нужных величин требуются формулы для оценки статистических ошибок. В частности, нужны формулы для оценки статистических ошибок, связанных а) с определением абсолютной величины максимального значения огибающей и б) с определения запаздывания, т. е. локализации максимального значения огибающей. Эти вопросы рассматриваются в работе [13.1] на основе результатов, изложенных в разд. 8.4.

ПРИМЕР 13.5. БЕЗДИСПЕРСНОЕ РАСПРОСТРАНЕНИЕ ПО НЕСКОЛЬКИМ ТАРКТАМ. На рис. 13.4 показано распространение одного входного сигнала по нескольким трактам, выходы которых суммируются и дают один выходной сигнал. Для простоты на рисунке показаны только три тракта, однако их число может быть произвольным. Эта модель описывается уравнением

где постоянные коэффициенты затухания в каждом тракте, а соответствующие запаздывания. Предполагается, что шум не коррелирован с Одновременно наблюдаются Требуется определить относительный вклад каждого тракта в мощность выходного сигнала и соответствующие запаздывания в каждом из трактов. Для этого оценивается взаимная ковариационная функция а затем для определения огибающей вычисляется преобразование Гильберта этой взаимной ковариационной функции. В данном случае

ПРИМЕР 13.6. БЕЗДИСПЕРСНОЕ РАСПРОСТРАНЕНИЕ СИГНАЛОВ, ИСХОДЯЩИХ ИЗ НЕСКОЛЬКИХ НЕКОРРЕЛИРОВАННЫХ ИСТОЧНИКОВ. На рис. 13.5 показано распространение нескольких сигналов по разным трактам, выходы которых затем суммируются и дают один выходной сигнал. Одновременно наблюдаются все входные и выходные сигналы. Для простоты показаны только три источника и соответствующие тракты, однако число некоррелированных источников может быть произвольным.

Рис. 13.4. Бездисперсное распространение сигнала по нескольким трактам.

Рис. 13.5. Бездисперсное распространение сигналов из нескольких некоррелированных источников.

Требуется определить относительный вклад каждого из источников в мощность выходного сигнала и соответствующие запаздывания в каждом тракте. Предполагается, что шум на выходе не коррелирован с входными сигналами а источники не коррелированы между собой. Эта модель описывается уравнением.

где постоянные коэффициенты затухания в каждом тракте, а соответствующие запаздывания в каждом тракте. Вычисляются взаимные ковариационные функции для каждой пары а затем для определения их огибающих вычисляются преобразования Гильберта. В данном случае

ПРИМЕР 13.7. БЕЗДИСПЕРСНОЕ РАСПРОСТРАНЕНИЕ СИГНАЛА ИЗ ОДНОГО НЕНАБЛЮДАЕМОГО ИСТОЧНИКА ПО НЕСКОЛЬКИМ ТРАКТАМ С НАБЛЮДАЕМЫМИ ВЫХОДНЫМИ СИГНАЛАМИ На рис. 13.6 показано распространение сигнала из одного ненаблюдаемого источника по нескольким

Рис. 13.6. Бездисперсное распространение сигнала из ненаблюдаемого источника по нескольким трактам с наблюдаемыми выходными сигналами.

трактам. Одновременно наблюдаются все выходные сигналы. Для простоты показаны только три выходных сигнала, однако их число может быть произвольным. Требуется определить относительные запаздывания между любыми двумя выходными сигналами, при этом фактическое запаздывание выходных сигналов по отношению к входному сигналу неизвестно, поскольку по предположению сигнал не наблюдается. Предполагается, что посторонние шумы не коррелированы между собой и с Эта модель описывается следующими уравнениями, задающими вид выходных сигналов для

Определяются взаимные ковариационные функции для пар выходных сигналов с последующим вычислением огибающих с помощью преобразования Гильберта. В данном случае