13.3. Выделение огибающей с последующим вычислением корреляции

Рассмотрим рис. 13.8, на котором функции

обозначают квадраты огибающих составляющих Взаимная

Рис. 13.8. Выделение квадрата огибающей с последующим вычислением корреляции.

ковариационная функция этих квадратов огибающих задается формулой

Предположим, что имеют совместное нормальное распределение с нулевым средним значением. Тогда

Подставляя выражения (13.112) в (13.111) и используя соотношения из табл. 13.2, получим

Далее

поэтому

где, как следует из формулы (13.73), величина есть квадрат огибающей функции Тогда

Поэтому

и аналогично

Полученные соотношения позволяют утверждать, что коэффициент корреляции квадратов огибающих функций имеет вид

Сравним выражение (13.119) с обычным коэффициентом корреляции исходных сигналов определенным формулой (5.16), т. е.

Вычислив преобразование Гильберта, получим

Из формулы (13.73) следует, что

ющей Величина является коэффициентом корреляции, соответствующим выражению

где определены формулами (13.110) и (13.114). Схема вычисления величины изображена на рис. 13.8.

Отметим три особенности формулы (13.122), касающиеся характера поведения коэффициента корреляции огибающих по сравнению с поведением исходной величины и ее огибающей

1) величина как и не зависит от тонкой структуры

2) величина имеет более острый максимум по сравнению с величинами в окрестности значения определяющего положение этого максимума;

3) величина имеет более острый максимум по сравнению с ковариационной функцией в окрестности определяющего положение максимума.

Следовательно, превосходит как так и в том, что касается эффективности определения положения максимума.

ПРИМЕР 13.8. ПОКАЗАТЕЛЬНО-КОСИНУСОИДАЛЬНАЯ ВЗАИМНАЯ КОВАРИАЦИОННАЯ ФУНКЦИЯ. Рассмотрим нормированную взаимную ковариационную функцию вида

Ее преобразование Гильберта есть

Тогда

Заметим, что не зависят от частоты модуляции Далее в окрестности точки определяющей положение максимума обе величины, ведут себя как а соответствующая ведет себя как Очевидно, что имеет более резко выраженный максимум в по сравнению с На этом пример заканчивается.

Рассмотрим теперь взаимные спектральные плотности и автоспектры квадратов огибающих функций заданных формулами (13.110). Согласно формуле (13.115), взаимная спектральная плотность огибающих есть

Квадрат огибающей

можно вычислить способом, намеченным в примере 13.4. Тогда

где как в формуле (13.8). Поэтому

При любом имеем

Аналогично определяются автоспектры огибающих:

Следовательно, по известным спектральным плотностям исходных сигналов можно вычислить соответствующие спектральные плотности квадратов огибающих функций

Задачи

(см. скан)

(см. скан)

Приложение А

(см. скан)

(см. скан)

(см. скан)

(см. скан)

(см. скан)

(см. скан)

(см. скан)

(см. скан)

(см. скан)

(см. скан)

(см. скан)

(см. скан)