4.2.2. ХИ-КВАДРАТ РАСПРЕДЕЛЕНИЕ

Пусть есть независимых случайных величин, каждая из которых имеет нормальное распределение с нулевым средним и единичной дисперсией. Определим новую случайную величину вида

Случайная величина называется хи-квадрат случайной величиной с степенями свободы. Число степеней свободы определяет число независимых, или “свободных”, квадратов, входящих в сумму. Плотность вероятности имеет вид [4.2]

где гамма-функция. Соответствующая функция распределения равная интегралу от плотности (4.7) по интервалу от до данного значения называется хи-квадрат распределением с степенями свободы. -процентные точки -распределения обозначим через

Среднее значение и дисперсия равны

Небольшая таблица процентных точек хи-квадрат распределения приводится в табл. А.З.

Следует отметить несколько особенностей хи-квадрат распределения. Во-первых, хи-квадрат распределение фактически является частным случаем более общего гамма-распределения. Во-вторых, важную роль играет распределение случайной величины, равной квадратному корню из случайной величины, имеющей хи-квадрат распределение с двумя степенями свободы которое называется распределением Рэлея. Распределение Рэлея широко применяется при решении задач, связанных с попаданием в двумерную мишень; кроме того, оно служит предельным распределением экстремальных значений узкополосного гауссова случайного сигнала при стремлении ширины полосы сигнала к нулю. В-третьих, с ним связано еще одно важное распределение, отвечающее случайной величине, равной квадратному корню из хи-квадрат случайной величины с тремя степенями свободы называемое распределением Максвелла. Распределение Максвелла применяется при решении задач, связанных с попаданием в трехмерные мишени. В-четвертых, хи-квадрат распределение приближается к нормальному по мере увеличения числа степеней свободы. Именно, для величина

приближенно нормальна со средним и дисперсией