8.4. Оценки ковариационных функций

Рассмотрим теперь две реализации стационарных эргодических случайных процессов Определим другие характеристики процессов — стационарные автоковариационные функции и взаимную ковариационную функцию Чтобы упростить последующие выкладки, примем, что средние значения равны нулю. Оценку взаимной ковариационной функции связывающей заданные на конечном интервале реализации с непрерывным временем, можно записать в виде

Чтобы избежать использования знака модуля, будем в дальнейшем считать величину положительной, так как для отрицательных значений справедливы те же выводы. Оценки ковариационных функций представляют собой частные случаи оценки взаимной ковариационнои функции, когда обе реализации совпадают, т.е. при

Таким образом, путем анализа оценки взаимной ковариационной функции можно получить результаты, применимые к оценкам автоковариационной функции.

Если процессы заданы на интервале а не то можно дать другое определение функции

В эту формулу входит фиксированный интервал интегрирования вместо переменного интервала интегрирования в формуле (8.89). Именно в таком виде выше было дано определение ковариационных функций. Отметим, что оценки средних значений квадратов функций или представляют собой просто частные случаи соотношения (8.89) или (8.91) при . Для упрощения обозначений в последующих выкладках вместо формулы (8.89) будет использоваться формула (8.91). В обоих случаях окончательные результаты будут одинаковы, если считать, что процессы заданы на интервале

Математическое ожидание оценки

Следовательно, независимо от длины реализации величина есть несмещенная оценка функции Средний квадрат ошибки определяется дисперсией

Чтобы упростить последующие преобразования и согласовать результаты со многими физическими приложениями, представляющими наибольший интерес, будем считать, что совместная плотность распределения случайных процессов для любой совокупности фиксированных моментов времени есть функция Гаусса. Этого ограничения можно избежать, вводя некоторые условия интегрируемости для негауссовых частей случайных процессов и не меняя при этом существенным образом окончательные выводы. В случае, когда совместная плотность вероятности процессов нормальна, сами процессы порознь также подчиняются нормальному распределению.

Для гауссовых стационарных случайных процессов с нулевыми средними значениями формула (5.130) дает следующее выражение для четвертого смешенного момента:

Следовательно, дисперсия

Второе равенство можно получить из первого, используя подстановку и меняя затем порядок интегрирования по переменным Если считать, что произведения абсолютно интегрируемы в промежутке то

Этим доказывается, что величина представляет собой состоятельную оценку функции При больших оценка имеет дисперсию

Заслуживают внимания несколько частных случаев соотношения (8.97). Дисперсия оценки ковариационной функции равна

При нулевом сдвиге

Из предположения, что при больших значениях функция стремится к нулю, следует неравенство

Таким образом, при больших

что составляет половину величины (8.99).