Глава 13. ПРЕОБРАЗОВАНИЕ ГИЛЬБЕРТА

Преобразованием Гильберта действительного сигнала определенного во временной области, называется определенный во временной же области действительный сигнал такой, что сигнал является аналитическим. Преобразование Фурье комплексная функция определенная в частотной области, которая, очевидно, отличается как от преобразования Гильберта так и от функции По сигналу можно вычислить его модуль и аргумент причем описывает огибающую исходной функции задает мгновенную фазу в зависимости от времени. В разд. 13.1 даются три эквивалентных математических определения преобразования Гильберта, а также приводятся примеры преобразований Гильберта и его основные свойства. Описана также характеризация причинно-обусловленных функций и физически осуществимых систем в терминах преобразований Гильберта. В разд. 13.2 приводятся формулы для преобразоианий Гильберта ковариационных функций и их огибающих. Описаны применения к задачам дисперсного и бездисперсного распространения сигналов. В разд. 13.3 вычисляются огибающие двух сигналов, а затем ковариационные функции этих огибающих. Более полные сведения о преобразованиях Гильберта и их применениях можно найти в работах [13.1 — 13.6].

13.1. Преобразование Гильберта процессов общего вида

Преобразование Гильберта произвольных процессов можно определить тремя разными способами. Все они будут представлены в этом разделе. Заметим, что в практических задачах все встречающиеся ниже интегралы обычно существуют.

1. Определение через свертку

Преобразование Гильберта действительной функции определенной во всей области это действительная функция задаваемая формулой

Следовательно, есть свертка т. е.

Как и преобразование Фурье, преобразование Гильберта — линейный оператор, т. е.

для любых постоянных и любых функций

2. Определение через сдвиг по фазе на Пусть преобразование Фурье

Тогда из формулы (13.2) следует, что равно преобразованию Фурье функции умноженному на преобразование Фурье функции Преобразование Фурье функции имеет вид

При функция Поэтому формула (13.2) описывает преобразование сигнала системой с частотной характеристикой — и эквивалентна формуле

Эта комплексная функция не является преобразованием Гильберта комплексной функции Она связана с соотношением

т. е. есть обратное преобразование Фурье

Преобразование Фурье вида можно представить как

и В(0) = 0. Следовательно,

Поэтому задает систему, сдвигающую входной сигнал по фазе на т. е.

Если положить

то

Итак, преобразование Гильберта состоит в преобразовании сигнала системой, которая оставляет модуль неизменным, а аргумент изменяет на где определяется формулой (13.11), т. е.

Другими словами, происходит сдвиг по фазе на на положительных частотах и сдвиг по фазе на на отрицательных частотах, что иллюстрирует приведенный выше рисунок.

3. Определение через мнимую часть аналитического сигнала

Третий способ определения преобразования Гильберта, проясняющий его смысл и позволяющий практически вычислять по состоит в использовании аналитического сигнала связанного с соотношением

Можно написать также

где называется огибающей сигнала называется мгновенной фазой сигнала Очевидно, что в терминах

«Мгновенная» частота равна

Пусть преобразование Фурье т. е.

Выполнив обратное преобразование Фурье получим

где