1.4.3. ХАРАКТЕРИСТИКИ ОШИБОК

В качестве введения в материал гл. 8 и 9 рассмотрим сейчас некоторые характеристики ошибок оценивания. Оценку величины обозначим через т. е. с помощью символа Величина это оценка построенная по наблюдению на конечном интервале времени или по конечному числу выборочных точек.

Предположим, что оценка (хотя бы умозрительно) может быть получена многократно путем повторения эксперимента или выполнения определенной программы измерений. Тогда принципе можно оценить математическое ожидание обозначаемое Например, если эксперимент повторяется многократно и дает оценки то

Это математическое ожидание может совпасть или не совпасть с истинным значением . В случае совпадения оценка называется несмещенной. В противном случае оценка называется смещенной. Смещение оценки, обозначаемое равно математическому ожиданию оценки минус истинное значение параметра:

Следовательно, смещение оценки — это систематическая ошибка, которая всегда имеет одну и ту же абсолютную величину и один и тот же знак, если измерения проводятся при неизменных условиях.

Дисперсия оценки, обозначаемая определяется как математическое ожидание квадрата разности между оценкой и ее средним значением. Формально

Дисперсия характеризует случайную ошибку оценки, т. е. ту часть общей ошибки, которая не является систематической и может иметь разные знаки и разные абсолютные значения от измерения к измерению.

Суммарная ошибка оценивания характеризуется средним квадратом ошибки, который определяется как математическое ожидание квадрата разности между оценкой и ее истинным значением. Средний квадрат ошибки оценки равен

Легко проверить, что

Иначе говоря, средний квадрат ошибки равен сумме дисперсии и квадрата смещения. Если смещение равно нулю или пренебрежимо мало, то средний квадрат ошибки и дисперсия совпадают.

Рис. 1.18 иллюстрирует смысл смещения (систематической ошибки) и дисперсии (случайной ошибки) на примере пристрелки двух винтовок. Рис. 1.18, а показывает, что винтовка А обладает большим смещением и малой случайной ошибкой. Рис. 1.18, б показывает, что винтовка имеет малое смещение, но большую случайную ошибку. Очевидно, из винтовки А никогда нельзя попасть в цель, в то время как из винтовки можно случайно поразить ее. Однако большинство стрелков предпочтет винтовку А, поскольку систематическую ошибку можно исключить (если известно, что она есть) путем регулировки прицела винтовки, а случайную ошибку устранить нельзя. Следовательно, винтовка А потенциально имеет меньший средний квадрат ошибки.

Рис. 1.18. Случайные и систематические ошибки при стрельбе из винтовки по мишени: а — винтовка А, большая систематическая ошибка и малая случайная ошибка; б - винтовка Б, малая систематическая ошибка и большая случайная ошибка.

Наконец, важной величиной является нормированная среднеквадратичная ошибка оценки, обозначаемая Эта безразмерная ошибка равна квадратному корню из среднего квадрата ошибки, деленному на истинное значение параметра (разумеется, в предположении, что оно не равно нулю). Формально

На практике стараются уменьшить нормированную среднеквадратичную ошибку в максимально возможной степени. В этом случае появляется уверенность в том, что произвольная оценка близка к истинному значению