5.1.2. ПРИМЕРЫ КОВАРИАЦИОННЫХ ФУНКЦИЙ

В табл. 5.1 приведены примеры ковариационных функций, находящих применение в теоретических исследованиях.

ПРИМЕР 5.1. КОВАРИАЦИОННАЯ ФУНКЦИЯ ГАРМОНИЧЕСКОГО ПРОЦЕССА. Пусть гармонический процесс, причем постоянные, а в случайная величина с равномерной плотностью заданной на ( Найдем его ковариационную функцию

Здесь для любого фиксированного случайные величины имеют вид

По формуле (5.6) получим

(кликните для просмотра скана)

где при в остальных случаях. Поэтому величина

дает ковариационную функцию стационарного случайного гармонического процесса; ее график изображен в табл. 5.1.

ПРИМЕР 5.2. КОВАРИАЦИОННАЯ ФУНКЦИЯ ТЕЛЕГРАФНОГО СИГНАЛА. Рассмотрим теперь физический эксперимент, порождающий случайный телеграфный процесс представляющий собой совокупность прямоугольных волн, принимающих два значения , причем перемены знака внутри интервала происходят в случайные и независимые моменты времени с интенсивностью Предположим также, что события внутри интервала не зависят от событий, происходящих вне этого интервала. Определим событие

Такой физический эксперимент описывается пуассоновским распределением [5.1], в котором вероятность события равна

Найдем ковариационную функцию процесса

Ковариационная функция вычисляется следующим образом. Каждое отдельное произведение равно либо если имеют одинаковые знаки, либо если их знаки противоположны. Суммарная вероятность того, что это произведение есть равна сумме а суммарная вероятность того, что это произведение есть - равна сумме Следовательно,

Эта экспоненциальная функция изображена в табл. 5.1 при

ПРИМЕР 5.3. КОВАРИАЦИОННАЯ ФУНКЦИЯ СУММЫ ДВУХ СТАЦИОНАРНЫХ ПРОЦЕССОВ. Пусть случайный процесс равен сумме двух стационарных процессов Любая его выборочная функция имеет вид

где постоянные. Допустим также, что могут коррелировать между собой. Вычислим ковариационную функцию По формуле (3.44) получим

Следовательно, для определения ковариационной функции суммы нужно знать ковариационные функции исходных процессов, а также их взаимную ковариационную функцию.

ПРИМЕР 5.4. НЕКОРРЕЛИРОВАННЫЕ ЗАВИСИМЫЕ СЛУЧАЙНЫЕ ВЕЛИЧИНЫ. Пусть х и у — случайные величины вида где случайная величина, распределенная равномерно на . В этом случае существует связь между х и у, поскольку Поэтому что говорит о статистической зависимости между х и у. Однако ковариация х и у равна

Следовательно, х и у не коррелированы.