12.6.3. ЧАСТОТНО-ВРЕМЕННЫЕ СПЕКТРАЛЬНЫЕ ФУНКЦИИ

Рассмотрим пару нестационарных случайных процессов с нулевыми средними значениями. Предположим, что для них вычислены нестационарные ковариационные функции где (см. разд. 12.5.2)

и нестационарные функции спектральной плотности где (см. разд. 12.6.2)

Преобразование Фурье нестационарной взаимной ковариационной функции по аргументу при фиксированном имеет вид

Это уравнение определяет частотно-временную спектральную плотность, которую часто называют также мгновенным спектром (мощности). Функция совпадает с распределением Вигнера (см. работу [12.1]). Из формулы (12.99) следует, что

так что представляет собой и обратное преобразование Фурье функции по переменной при фиксированном

Согласно равенствам (12.117) и (12.118), обратные преобразования имеют вид

Подставляя выражение (12.177) в (12.120), a (12.118) в (12.119), получаем

Следовательно, действительно является двойным преобразованием Фурье функции двойным обратным преобразованием Фурье функции Эти утверждения следует сопоставить с приведенными выше равенствами (12.83) и (12.88).

В частном случае нестационарной автоковариационной функции имеем

Последнее равенство справедливо, поскольку четная функция Отсюда следует, что

т. е. есть действительная и четная функция Благодаря этому свойству обратное преобразование, отвечающее формуле (12.123), есть

Для случая нестационарной спектральной плотности соответствующее уравнение получается из (12.118) с учетом (12.96) и (12.97) в виде

Обратное преобразование имеет вид

Из формул (12.124) и (12.127) следуют соотношения

которые совпадают с равенствами (12.96) и (12.97).

Следует заметить, что, пользуясь частотно-временными спектрами и производя замену переменных, можно переписать нестационарные формулы, переходя из временной области от двумерных ковариационных функций в частотную область к двумерным спектрам. Переход можно осуществлять в обоих направлениях (табл. 12.1).

Рассмотрим теперь некоторые свойства частотно-временного спектра Из формул (12.65) и (12.125) следует, что в частном случае

Таким образом, интегрирование вдоль всей оси дает нестационарный средний квадрат (мгновенную мощность) сигнала в момент времени Кроме того, при из формул (12.94) и (12.127) имеем

Таким образом, интегрирование вдоль всей оси дает функцию спектральной плотности энергии последовательности на частоте

Пусть меняются от до Тогда энергия, содержащаяся в за время от до есть

Таблица 12.1. Нестационарные ковариационные и спектральные функции

С другой стороны, энергия, содержащаяся в интервале частот от до равна

Полная энергия последовательности на всей плоскости задается в виде

Эти соотношения демонстрируют физический смысл частотно-временного спектра как характеристики свойств последовательности

Рассмотрим теперь частотно-временной спектр Согласно (12.66) и (12.119), имеем

Иными словами, интеграл от по всей оси дает ковариацию последовательностей в момент Кроме того, из формул (12.95) и (12.120) следует, что

Иными словами, интеграл от по всем дает функцию взаимной спектральной плотности энергии, связывающую процессы и на частоте

Заменяя функции, входящие в равенство (12.118), их комплексными сопряжениями и имея в виду (12.98), получим

Кроме того, из формул (12.98) и (12.118) следует, что

При эти соотношения принимают вид

откуда, как и из (12.134), видно, что действительная и четная

функция аргумента Заметим, что функция не обязана быть неотрицательной. Более того, ниже показано, что может принимать отрицательные значения.

Средняя по времени функция взаимной спектральной плотности определяется через выражением

а средний по времени автоспектр имеет вид

Поскольку есть преобразование Фурье то, полагая возможным изменение порядка операций предельного перехода, получаем

где средние по времени ковариационные функции заданы равенствами (12.71) и (12.72).

Из формулы (12.130) следует, что функция неотрицательна при всех так как при достаточно больших

Это совпадает с обычным определением автоспектра стационарного случайного процесса. Аналогичным образом из формул (12.135) и (12.139) можно получить, что при больших

что совпадает с обычным определением взаимной спектральной плотности стационарных случайных процессов. Как и ранее, односторонние средние по времени спектральные плотности имеют вид

В частном случае стационарных процессов нестационарные ковариационные функции обращаются в стационарные:

следовательно,

Иными словами, в этом случае частотно-временнбй взаимный спектр не зависит от и совпадает с обычной стационарной взаимной спектральной плотностью Аналогичным образом в стационарном случае справедливо равенство

Как и прежде,

Таким образом, стационарный взаимный спектр есть частный случай нестационарного спектра

ПРИМЕР 12.9. МГНОВЕННЫЙ СПЕКТР ПЕРИОДИЧЕСКОГО СИГНАЛА. Рассмотрим периодический сигнал вида где постоянные. Согласно примеру 12.5,

Частотно-временнбй спектр находится из формулы (12.117) в виде

Заметим, что

а) содержит стационарные компоненты при плюс нестационарную компоненту при которая является периодической функцией с частотой

б) спектр может быть отрицательным.

Мгновенная мощность этого сигнала определяется формулой (12.65):

что согласуется с выражением (12.129):

Из равенств (12.72) и (12.140) следует, что средние по времени функции в

рассматриваемом примере имеют вид

что согласуется с рассмотренными выше примерами 5.1 и 5.5. Заметим, что

ПРИМЕР 12.10. МГНОВЕННЫЙ СПЕКТР МОДУЛИРОВАННОГО ПРОЦЕССА. Рассмотрим модулированный процесс вида

где постоянная, а стационарный случайный процесс с нулевым средним значением. Согласно примеру 12.6, имеем

и потому из формулы (12.123) следует, что

Заметим, что

а) стационарная компонента смещается по частоте на

б) нестационарная компонента функции является периодической функцией с частотой ;

в) функция может принимать отрицательные значения. Мгновенная мощность этого процесса определяется по Формуле (12.65):

что совпадает с интегралом от по переменной Функция спектральной плотности энергии процесса задана формулой (12.130):

где

Следовательно, при имеем при конечном что

что совпадает с интегралом от по переменной при конечном

График функции на положительной полуплоскости частот показан на рис. 12.8 для случая, когда спектр узкополосного случайного шума.

Средние по времени функции имеют в этом случае вид

Заметим, что