Глава 6. СООТНОШЕНИЯ ДЛЯ ЛИНЕЙНЫХ СИСТЕМ С ОДНИМ ВХОДНЫМ ПРОЦЕССОМ

Эта глава посвящена теории систем с одним входом и ее применениям. Предполагается, что на вход системы поступают реализации стационарного случайного процесса с нулевым средним, а система линейная и имеет постоянные параметры. Рассматриваются модели с одним входом и одним выходом, а также модели с одним входом и несколькими выходами. Для этих моделей определяется функция обычной когерентности. Системы с несколькими входами изучаются в гл. 7.

6.1. Системы с одним входом и одним выходом

Пусть линейная система с постоянными параметрами задается весовой функцией и частотной характеристикой , которые были определены и исследованы в гл. 2. Предположим, что воздействие на систему одного вполне определенного входного сигнала являющегося реализацией стационарного случайного процесса вызывает один вполне определенный выходной сигнал (рис. 6.1). Этот выходной сигнал представляет собой реализацию стационарного случайного процесса

6.1.1. КОРРЕЛЯЦИОННЫЕ И СПЕКТРАЛЬНЫЕ СООТНОШЕНИЯ

При идеальных условиях выходной сигнал системы, изображенной на рис. 6.1, задается сверткой

где при если система физически осуществима. Произведение равно

Взяв математическое ожидание от обеих частей этого равенства, получим соотношение, устанавливающее связь между ковариационными функциями выходного и входного процессов.

Аналогично определяется произведение

Рис. 6.1. Идеальная система с одним входом и одним выходом.

Взяв математическое ожидание от обеих частей этого равенства, получим взаимную ковариационную функцию входного и выходного процессов:

Заметим, что свертка в формуле (6.5) имеет тот же вид, что и в (6.1).

Применение преобразования Фурье к соотношениям (6.3) и (6.5) после ряда алгебраических преобразований позволяет показать, что двусторонние спектральные плотности удовлетворяют следующим важным соотношениям:

Здесь частота может быть как положительной, так и отрицательной. Заметим, что выражение (6.6) действительное и содержит только амплитудную характеристику системы . В то же время выражение (6.7) комплексное и может быть разбито на две формулы, содержащие соответственно амплитудную и фазовую характеристики системы. Формула (6.6) называется соотношением между спектрами входного и выходного процессов, а формула (6.7) — соотношением для взаимного спектра входного и выходного процессов. Эти формулы применимы только в идеальном случае — при отсутствии шума на входе и выходе, когда характеристики системы линейны и не меняются во времени. Интерпретировать эти спектральные соотношения в частотной области значительно проще, чем соответствующие корреляционные соотношения во временной области.

Соотношения (6.6) и (6.7) можно записать через физически измеримые односторонние спектральные плотности где остальных случаях. Соотношения (6.6) и (6.7) принимают вид

Пусть

Тогда уравнение (6.9) эквивалентно следующим двум

На этих результатах основаны многочисленные инженерные применения функций спектральной плотности. Практические примеры можно найти в

Рис. 6.2. Соотношения между спектрами входных и выходных процессов линейных систем: а — спектры; б — взаимные спектры.

книге [6.1]. На рис. 6.2 показано изменение спектра входного процесса после прохождения через линейную систему с частотной характеристикой

Формула (6.8) дает возможность вычислить средний квадрат выходного процесса:

Формула (6.8), кроме того, позволяет определить по известным или же по известным но из формулы (6.8) нельзя найти полностью частотную характеристику системы, так как эта формула не содержит информации о фазе. Полностью восстановить амплитудную и фазовую характеристики системы можно из формул когда известны как так и

Формулы (6.8) и (6.9) можно вывести и без предварительного нахождения корреляционных соотношений (6.3) и (6.5). Для любой пары

достаточно больших, но конечных реализаций длины соотношение (6.1) эквивалентно следующему равенству;

где и финитные преобразования Фурье соответственно. Тогда

Если теперь последние два равенства усреднить по ансамблю реализаций, умножить на и устремить к бесконечности, то из соотношений (5.66) и (5.67) получим, что

Обратим внимание на простоту непосредственного вывода этих соотношений. Этот метод будет использован в разд. 6.1.4 и гл. 7.

Переходя в формуле (6.17) к комплексно-сопряженным величинам, получим

где

Следовательно, для определения фазовой характеристики можно использовать формулу

Имея целью определение полной частотной характеристики, заметим, что из формул (6.16) и (6.18) следует соотношение

Поэтому для идеальной системы с одним входом и одним выходом можно найти из соотношения (6.17):

а формула (6.22) дает

Следовательно,

что эквивалентно

При анализе переходных процессов, изучаемых в гл. 12, вместо спектральных плотностей «мощности», определенных в гл. 5 и 6, используются спектральные плотности «энергии». Эти два типа спектров связаны соотношением где описывает взаимную спектральную плотность «энергии». Предполагается, что переходные процессы и существуют только в интервале Полученные в этой главе и гл. 7 соотношения между входными и выходными процессами верны и для таких переходных процессов после простой замены спектральных плотностей «мощности» спектральными плотностями «энергии».

ПРИМЕР 6.1. РЕАКЦИЯ НИЗКОЧАСТОТНОГО ФИЛЬТРА НА БЕЛЫЙ ШУМ. Предположим, что на вход низкочастотного -фильтра с постоянной времени поступает белый шум. Найдем спектральную плотность, средний квадрат и ковариационную функцию выходного процесса. Частотная характеристика этого низкочастотного фильтра имеет вид

причем ей соответствует весовая функция

Здесь

Если - спектральная плотность белого шума (т. е. и постоянна для всех , то

ПРИМЕР 6.2. РЕАКЦИЯ НИЗКОЧАСТОТНОГО ФИЛЬТРА НА ГАРМОНИЧЕСКИЙ ПРОЦЕСС. Предположим, что на вход низкочастотного RC-фильтра, описанного в примере 6.1, поступает гармонический процесс с спектральной плотностью

Найдем спектральную плотность, средний квадрат и ковариационную функцию выходного процесса. В данном случае

ПРИМЕР 6.3. СИСТЕМА С СИЛОЙ НА ВХОДЕ И СМЕЩЕНИЕМ НА ВЫХОДЕ. Вычислим спектральную плотность, ковариационную функцию и средний квадрат выходного процесса системы, изображенной на рис. 2.2, в предположении, что на ее вход поступает белый шум. Результаты справедливы и для других аналогичных систем, как указывалось в гл. 2.

Пусть где С — постоянная. Тогда по формуле (2.24а) или табл. 2.1 в предположении, что сила выражена в единицах смещения, т. е. находим спектральную плотность выходного процесса:

Соответствующая ковариационная функция выходного процесса равна

Средний квадрат выходного процесса есть

Следовательно, если на вход поступает белый шум, то средний квадрат обратно пропорционален

Если входной процесс гармонический, то, как мы сейчас увидим, максимальное значение обратно пропорционально Пусть сигнал

проходит через систему, задаваемую частотной характеристикой Тогда выходной процесс есть

причем

По формуле (2.26) для малых

следовательно,

что и утверждалось.

ПРИМЕР 6.4. СИСТЕМА СО СМЕЩЕНИЕМ НА ВХОДЕ И ВЫХОДЕ. Вычислим спектральную плотность, ковариационную функцию и средний квадрат выходного процесса в том случае, когда на вход системы, изображенной на рис. 2.4, поступает белый шум. Эти результаты справедливы и для других аналогичных систем, как указывалось в гл. 2.

Пусть где постоянная. Тогда по формуле (2.38а) или табл. 2.1 спектральная плотность выходного процесса есть

Соответствующая ковариационная функция выходного процесса равна

Средний квадрат выходного процесса есть

Последние два примера показывают важность экспоненциальнокосинусоидальной и экспоненциально-синусоидальной ковариационных функций для многих практических задач. Если то можно обойтись только экспоненциально-косинусоидальными ковариационными функциями.