13.2.5. ЗАДАЧИ ДИСПЕРСНОГО РАСПРОСТРАНЕНИЯ СИГНАЛОВ

В разд. 13.2.4 рассматривались задачи бездисперсного распространения сигналов, когда скорость распространения сигналов постоянна и не зависит от частоты. Рассмотрим теперь случай, когда характеристики трактов распространения сигналов зависят от частоты [13.7, 13.8]. В частности, «кажущаяся» скорость распространения волн изгиба в конструкциях на данной частоте называется групповой скоростью Эта скорость связана с фазовой скоростью но не равна ей. Известно, что для групповой скорости волн изгиба в тонких балках имеет место соотношение

т. е. равна удвоенной причем обе эти скорости пропорциональны квадратному корню из частоты.

В задачах дисперсного распространения сигналов, описываемых в первом приближении соотношением (13.90), взаимная ковариационная функция, аналогичная функции (13.89), имеет, как показано в работе [13.8], следующий вид:

где

причем поскольку График функции (13.91) показан на рис. 13.7.

Рис. 13.7. Типичная нормированная взаимная ковариационная функция при персном распространении сигнала по одному тракту.

Отметим, что график функции (13.91) похож на график функции (13.89), но имеет отличительные особенности:

1) максимальное значение огибающей приходится на запаздывание которое в данном случае зависит от частоты, так как

2) пики косинусоиды соответствуют запаздываниям где произвольное целое число; вообше говоря, положение максимального значения косинусоиды не совпадает с положением максимального значения огибающей.

Из формулы (13.91) видно, что «кажущаяся» скорость распространения для огибающей на данной частоте определяется в основном групповой скоростью а не фазовой скоростью с При таком дисперсном распространении сигнала положение максимального значения определенное по ее тонкой структуре, задаваемой косинусоидой, входящей в формулу (13.91), может не совпасть с положением максимального значения огибающей, приходящимся на запаздывание Для определения нужно вычислить огибающую для чего удобно использовать преобразование Гильберта.

Вывод формулы (13.91) основывается на следующих соображениях. Возьмем исходное соотношение

В случае дисперсного распространения, приводящего к формуле (13.91), соответствуюшая функция есть

скорость В данном случае значение на частоте равно

где а — некоторый коэффициент пропорциональности. Подстановка формулы (13.95) в выражение (13.94) дает

где односторонняя спектральная плотность при и равна нулю в остальных случаях. Для ограниченного по частоте белого шума

Поэтому

Далее

Следовательно, нормированная взаимная ковариационная функция имеет вид

Рассмотрим теперь случай, когда ширина полосы пропускания менее одной октавы, так что для любого вместо можно подставить выражение

После такой замены переменных получаем

а из формулы (13.96) принимает вид

Для малых пренебрегая членами порядка имеем

Тогда, отбрасывая члены, содержащие синусы, получим

где

Здесь фазовая и групповая скорости на частоте причем Наконец, подставив выражение (13.106) в формулу (13.103) и интегрируя полученное выражение справа и слева по , получим

что совпадает с искомой формулой (13.91).