5.3.4. ЛИНЕЙНЫЕ ПРЕОБРАЗОВАНИЯ СЛУЧАЙНЫХ ПРОЦЕССОВ

Динамическое поведение типичных линейных физических систем было проанализировано на примерах в гл. 2. Полезно очень кратко рассмотреть

сейчас математические свойства линейных преобразований случайных процессов. Эти сведения используются в гл. 6 и 7 при выводе важных соотношений, связывающих вход и выход линейных систем, на вход которых поступают случайные процессы.

Рассмотрим произвольный случайный процесс Оператор А, преобразующий выборочную функцию в другую выборочную функцию можно записать как

где А обозначает функциональную операцию над членом, заключенным в квадратные скобки. Аргумент может совпадать или не совпадать с Например, если рассматривается операция дифференцирования, то будет выборочной функцией производной случайного процесса при условии, разумеется, что эта производная существует. Иной пример дает операция интегрирования с конечными пределами интегрирования. В этом случае случайная величина, зависящая от индекса к и определяемая реализацией и конечными пределами интегрирования. Оператор А может иметь самый разнообразный вид. В дальнейшем индекс к, указывающий на выборочное пространство, будет опускаться для простоты обозначений.

Оператор А называется линейным, если для любого набора допустимых значений и любых постоянных имеет место соотношение

Иначе говоря, такая операция одновременно аддитивна и однородна. Допустимыми значениями могут быть значения разных выборочных функций в один и тот же момент времени или же значения одной и той же выборочной функции в разные моменты времени

Оператор А называется инвариантным во времени, если любой сдвиг переводящий входной процесс в процесс вызывает такой же сдвиг выходного процесса, переводящий . В формальной записи для любого

Если не будет сказано противное, то в дальнейшем все линейные системы будут считаться инвариантными во времени. Такие системы представляют собой линейные системы с постоянными параметрами в смысле определения гл. 2.

Операция взятия математического ожидания от случайных величин перестановочна с любой линейной операцией, если только все участвующие величины существуют, т. е. для фиксированных имеем

Это соотношение легко доказывается следующим образом. Пусть принимает дискретных значений принимает соответствующие им дискретных значений где

Тогда

Поскольку А — линейный оператор, то

Поэтому

В непрерывном случае утверждение доказывается путем устремления к бесконечности с использованием того или иного понятия сходимости, например приведенного ниже определения (5.138). Доказательство закончено.

Основной результат, справедливость которого непосредственно следует из определений, гласит: если выборочная функция слабо (строго) стационарного случайного процесса, а оператор А линейный и инвариантный во времени, то является слабо (строго) стационарным случайным процессом. Очень важен еще один результат [5.4]: если имеет гауссово распределение, а оператор А линейный, то ( тоже подчиняется гауссову распределению.

Интегральное преобразование любой выборочной функции произвольного случайного процесса по определению есть

где произвольная заданная функция, для которой этот интеграл существует. При данных и пределах интегрирования величина случайна и зависит от выбора реализации Для изучения статистических свойств случайной величины I обычно интервал интегрирования разбивают на подынтервалы и рассматривают приближение интеграла линейной суммой

Сходимость к можно определять по-разному. Говорят, что последовательность сходится к

1) в среднеквадратичном, если

2) по вероятности, если для любого

Из неравенства Чебышева (3.22) немедленно следует, что сходимость в среднеквадратичном влечет сходимость по вероятности. На практике большинство интегральных выражений, содержащих случайные величины, существуют в смысле среднеквадратичной сходимости.