4.3 Выборочные распределения и примеры

Рассмотрим случайную величину х с функцией распределения Пусть — выборка из наблюдений х. Любая величина, вычисленная по этим выборочным значениям, тоже будет случайной. Рассмотрим, например, среднее значением выборки. Если взять несколько выборок размером из одной и той же случайной величины х, то значениях, вычисленные по разным выборкам, будут, вообще говоря, различными. Следовательно, х тоже случайная величина с некоторой функцией распределения Эта функция распределения называется выборочным распределением х.

Сейчас мы рассмотрим несколько выборочных распределений, часто используемых на практике. Среди них встретятся и функции распределения, определения и некоторые свойства которых были рассмотрены в разд. 4.2. Применение этих выборочных распределений к построению выборочных интервалов и испытанию гипотез описывается в разд. 4.4-4.8.

4.3.1. РАСПРЕДЕЛЕНИЕ ВЫБОРОЧНОГО СРЕДНЕГО ПРИ ИЗВЕСТНОЙ ДИСПЕРСИИ

Рассмотрим выборочное среднее выборки из независимых наблюдений случайной величины х:

Пусть сначала случайная величина х распределена нормально с средним и известной дисперсией о. Согласно разд. 3.3.1, выборочное распределение выборочного среднего х тоже нормально. Формула (4.8) показывает, что среднее значение выборочного распределения величины х равно

а из формулы (4.9) следует, что дисперсия выборочного распределения величины х есть

Следовательно, в силу (4.13) распределения обеих частей следующего соотношения, содержащего х, совпадают:

Здесь стандартная нормальная случайная величина, описанная в разд. 4.2.1. Поэтому относительно возможных значений выборочного среднего можно утверждать, что

Пусть теперь распределение случайной величины х отлично от нормального. Применяя центральную предельную теорему, получаем следующий результат. С увеличением размера выборки выборочное распределение выборочного среднего х стремится к нормальному распределению независимо от вида распределения исходной случайной величины х. Практически во многих случаях выборочное распределение х можно считать нормальным уже при а при приближение будет очень хорошим. Поэтому при достаточно большом размере выборки формула (4.35) применима к выборочному распределению х, вычисленному для случайной величины с произвольным распределением.

4.3.2. РАСПРЕДЕЛЕНИЕ ВЫБОРОЧНОЙ ДИСПЕРСИИ

Рассмотрим дисперсию выборки из независимых наблюдений случайной величины х:

Если случайная величина х распределена нормально с средним и дисперсией то, как показано, например, в работе [4.1], распределения правой и левой частей соотношения

совпадают. Здесь имеет хи-квадрат распределение с степенями свободы согласно определению разд. 4.2.2. Следовательно, выборочное распределение выборочной дисперсии определяется из соотношения

Поэтому относительно возможных значений выборочной дисперсии 52 можно утверждать, что

4.3.3. РАСПРЕДЕЛЕНИЕ ВЫБОРОЧНОГО СРЕДНЕГО ПРИ НЕИЗВЕСТНОЙ ДИСПЕРСИИ

Рассмотрим среднее значение выборки из независимых наблюдений случайной величиных, определенное формулой (4.31). Если распределена нормально с средним и неизвестной дисперсией, то из соотношений (4.21) и (4.37) следует, что

где имеет -распределение с степенями свободы согласно определению разд. 4.2.3. Следовательно, выборочное распределение выборочного среднего х при неизвестной задается соотношением

Поэтому относительно возможных значений выборочного среднего х можно сделать следующее вероятностное утверждение:

4.3.4. РАСПРЕДЕЛЕНИЕ ОТНОШЕНИЯ ДВУХ ВЫБОРОЧНЫХ ДИСПЕРСИЙ

Рассмотрим дисперсии двух выборок, одна из которых состоит из независимых наблюдений случайной величины х, а другая из независимых наблюдений случайной величины (см. формулу (4.36)). Если случайная величина х распределена нормально с средним и дисперсией а случайная величина распределена нормально с средним и дисперсией то из соотношений (4.26) и (4.37) следует, что

где имеет -распределение с степенями свободы согласно определению разд. 4.2.4. Следовательно, выборочное распределение отношения выборочных дисперсий задается соотношением

Поэтому относительно возможных значений отношения выборочных дисперсий можно сделать следующее вероятностное утверждение:

Заметим, что если обе выборки сделаны из одной и той же случайной величины то соотношение (4.41) превращается в следующее: