Глава 3. ОСНОВЫ ТЕОРИИ ВЕРОЯТНОСТЕЙ

Эта глава содержит обзор основных принципов теории вероятностей, которые в последующих главах используются для введения понятий теории случайных процессов. Материал главы охватывает случайные величины, функции распределения, математические ожидания, замену переменных, производящие функции моментов и характеристические функции одномерных и многомерных случайных величин. Более детальное изложение теории вероятностей с инженерной точки зрения можно найти в книгах [3.1-3.3].

3.1. Одномерные случайные величины

В основе теории вероятностей лежит понятие множества, понимаемого как совокупность объектов (именуемых также точками или элементами), причем относительно каждого конкретного объекта можно сказать, принадлежит он этой совокупности или нет. В частности, возможные исходы некоторого эксперимента (или измерения) представляют собой множество точек, которое называется выборочным пространством. Эти точки можно сочетать самыми разными способами; такие сочетания называются событиями. При соответствующих условиях каждому событию можно приписать некоторую вероятность. Вероятность всегда заключена между нулем и единицей, причем вероятность невозможного события равна нулю, а вероятность достоверного события равна единице. Выборочное пространство может быть конечным или бесконечным.

Рассмотрим точечное выборочное пространство, которое описывает все возможные исходы некоторого эксперимента (или измерения). Случайная величинах это функция множеств, определенная в точках к выборочного пространства; следовательно, случайная величина — это действительное число, заключенное между которое сопоставляется каждой возможной выборочной точке. Иными словами, случайный исход некоторого эксперимента, отмеченный индексом к, представляется действительным числом, которое называется случайной величиной. Все события, которые могут произойти в эксперименте, образуют вполне аддитивный класс множеств, и любому из них можно приписать вероятностную меру.

3.1.1. ФУНКЦИИ РАСПРЕДЕЛЕНИЯ

Пусть некоторая случайная величина. Тогда для любого фиксированного значения х случайное событие определяется как множество всех возможных исходов к таких, что . В терминах исходной вероятностной меры, заданной на выборочном пространстве, функция

распределения определяется как вероятность, приписанная множеству точек удовлетворяющих неравенствух Заметим, что множество точек удовлетворяющих неравенству является подмножеством совокупности точек, которые удовлетворяют неравенству Формально

Очевидно, что

Если область значений случайной величины непрерывна, что и предполагается в дальнейшем, то плотность вероятности (одномерная) определяется дифференциальным соотношением

Следовательно,

Для того, чтобы можно было рассматривать дискретные случаи, подобные примеру 3,1, следует допустить наличие в составе плотности вероятности дельта-функций.

ПРИМЕР 3.1. ДИСКРЕТНОЕ РАСПРЕДЕЛЕНИЕ. Допустим, что эксперимент заключается в однократном бросании монеты, причем предполагается, что оба возможных исхода — герб и решетка — случаются с одинаковой вероятностью (1/2). В этом примере случайная величина принимает только два дискретных значения, х (герб) и х (решетка), в качестве которых можно взять произвольные действительные числа, скажем х (герб) = а и х (решетка) = b, где а и b - действительные числа, причем При

таком построении случайной величины ее функция распределения имеет вид

а плотность вероятности задается формулой

где дельта-функции (рис. 3.1).