11.2. Ряд Фурье и быстрое преобразование Фурье

Построение ряда и преобразования Фурье теоретически представляют собой различные операции, но в большинстве практических приложений численная реализация этих операций осушествляется одинаковым образом. Это объясняется тем, что для дискретной реализации можно построить ряд или преобразование Фурье только в конечном диапазоне частот, и этот диапазон определяется значением периода при вычислении соответствующего ряда Фурье. Как уже отмечалось в разд. 5.2.2, одна из основных причин использования быстрого преобразования Фурье состоит в том, что оно позволяет получить оценки спектральной плотности и ковариационной функции. Прежде чем излагать алгоритм быстрого преобразования Фурье, полезно рассмотреть, каким образом вычисляется обычный ряд Фурье.

11.2.1. РЯД ФУРЬЕ

Если предположить, что реализациия периодическая с периодом и фундаментальной частотой то ее можно представить рядом Фурье

где

Пусть реализация имеет конечную длину равную фундаментальному периоду. Предположим также, что она состоит из четного числа эквидистантных наблюдений с интервалом дискретности

который выбран таким образом, что частота Найквиста достаточно высока. Будем считать, что начальный момент реализации равен нулю, и обозначим, как и прежде, преобразованную последовательность следующим образом:

Вычислим теперь по всем значениям реализации конечный ряд Фурье. Для любой точки I, принадлежащей интервалу этот ряд имеет вид

В точках где получим

Коэффициенты определяются выражениями

Программа для расчета величин должна содержать следующие операции:

1) определение величины при фиксированных значениях

2) вычисление

3) вычисление

4) вычисление суммы для каждого из этих выражений при

5) приращение аргумента на единицу и повторение всех перечисленных действий.

Такой способ требует выполнения примерно операций умножения и сложения действительных чисел.

Поскольку затраты машинного времени и стоимость расчетов зависят

от при больших такой стандартный метод вычисления коэффициентов может оказаться дорогостоящим и потребовать значительного времени. Чтобы существенно снизить затраты машинного времени, были разработаны и введены в практику другие способы расчета, получившие название «быстрое преобразование Фурье» (БПФ). Рассмотрим детально эти важные методы, применяемые для цифрового анализа случайных процессов.