13.1.4. СВЯЗЬ С ФИЗИЧЕСКИ ОСУЩЕСТВИМЫМИ СИСТЕМАМИ

Физически осуществимая линейная система с постоянными параметрами задается весовой функцией удовлетворяющей свойству (2.3), т. е.

Соответствующая частотная характеристика задается формулой (2.13) и равна

Здесь действительная часть мнимая часть

В этом разделе будет доказано, что линейная система физически осуществима тогда и только тогда, когда есть преобразование Гильберта

Этот факт является частным случаем более общей теоремы, которая верна для любых причинно обусловленных функций. По определению, действительная функция называется причинно обусловленной, если

Любую функцию можно представить в виде суммы четной функции и нечетной функции

полагая

Отсюда следует, что Разложение произвольной причинно обусловленной функции на четную и нечетную составляющие иллюстрирует рис. 13.2.

Пусть теперь причинно обусловленная функция. Тогда по

Рис. 13.2. Четная и нечетная составляющие причинно обусловленной функции,

формулам (13.52) и (13.54) при

а для

Следовательно, для причинно обусловленной функции

где

Преобразование Фурье любой причинно обусловленной функции должно удовлетворять соотношению

где

где

Следовательно,

откуда получаем

т. е. является преобразованием Гильберта причинно обусловленная функция, что и требовалось доказать.

Доказанное утверждение дает возможность проверить, является ли данная частотной характеристикой физически осуществимой системы. Система физически осуществима, если есть преобразование Гильберта поскольку формула (13.61) эквивалентна формуле (13.57). Поэтому формула (13.61) дает необходимое и достаточное условие линейности и физической осуществимости системы. В формальной записи имеем

Следовательно,

Отклонения от этих соотношений можно использовать для изучения нелинейных систем.

ПРИМЕР 13.2. ПОКАЗАТЕЛЬНАЯ ПРИЧИННО ОБУСЛОВЛЕННАЯ ФУНКЦИЯ. Рассмотрим причинно обусловленную функцию

При имеем Здесь для любых функция и

Взяв преобразование Фурье, получим

Следовательно, четная функция от нечетная функция от и

Полное преобразование Фурье есть

ПРИМЕР 13.3. ПОКАЗАТЕЛЬНО-КОСИНУСОИДАЛЬНАЯ ПРИЧИННО ОБУСЛОВЛЕННАЯ ФУНКЦИЯ. Рассмотрим причинно обусловленную функцию

При имеем . В этом случае преобразование Фурье имеет вид

где выражения для в отдельности довольно сложны. Однако поскольку причинно обусловленная функция, то должно выполняться соотношение

где четкая функция от нечетная функция от