5.2.4. ФУНКЦИИ КОГЕРЕНТНОСТИ

Сейчас мы дадим простое прямое математическое доказательство неравенства для взаимной спектральной плотности:

Этот результат значительно сильнее аналогичного неравенства (5.11) для взаимных ковариационных функций, в котором оценивается произведением содержащим значения в точке

Для любого значения функцию можно представить как

через модуль и фазу Известно также, что

Рассмотрим теперь величины где финитные преобразования Фурье реализаций соответственно. Для любых действительных чисел а и справедливо неравенство

Поэтому

Перейдем в этой формуле к математическому ожиданию по индексу к; умножив обе ее части на и устремив к бесконечности, получим

Здесь были использованы определения автоспектров и взаимных спектров (5.66) и (5.67). Согласно формуле (5.41),

следовательно,

В точности повторяя рассуждение, использованное при доказательстве неравенства для взаимных ковариационных функций, убеждаемся в справедливости неравенства (5.82), т. е.

Отсюда следует одновременно неравенство для двусторонних взаимных спектров: для всех

Теперь можно определить функцию когерентности (называемую иногда квадратом когерентности)

которая для любых удовлетворяет неравенствам

Комплексная функция когерентности определяется формулой

где

а в фазовый угол Всюду в этой книге под функцией когерентности будет пониматься действительная функция всегда будет пониматься как квадратный корень из