1.3.2. ЭРГОДИЧЕСКИЕ СЛУЧАЙНЫЕ ПРОЦЕССЫ

В разд. 1.3.1 было показано, как можно определить характеристики случайного процесса путем усреднения по ансамблю в определенные моменты времени. Однако в большинстве случаев характеристики стационарного случайного процесса можно вычислить, усредняя по времени в пределах отдельных выборочных функций, входящих в ансамбль. Возьмем, например, выборочную функцию ансамбля, изображенного на рис. 1.10. Среднее значение и ковариационная функция вычисленные по

реализации, равны

Если случайный процесс стационарен, а вычисленные по различным реализациям согласно формулам (1.11), совпадают, то случайный процесс называется эргодическим. Для эргодических процессов средние значения и ковариационные функции, полученные усреднением по времени (как и другие характеристики, вычисленные усреднением по времени), равны аналогичным характеристикам, найденным усреднением по ансамблю, т. е. Отметим, что свойством эргодичности могут обладать только стационарные процессы.

Очевидно, что эргодические случайные процессы образуют очень важный класс случайных процессов, поскольку все свойства эргодических процессов можно определить по единственной выборочной функции. К счастью, на практике стационарные случайные процессы обычно оказываются эргодическими. Именно по этой причине свойства стационарных случайных явлений часто можно определить по одной наблюдаемой реализации. Подробное изложение свойств эргодических случайных процессов дается в гл. 5.