5.1.1. КОВАРИАЦИОННЫЕ (КОРРЕЛЯЦИОННЫЕ) ФУНКЦИИ

Для стационарных случайных процессов которым посвящена эта глава, средние значения постоянны и не зависят от времени т. е. для всех

где плотности вероятности случайных величин соответственно. Корреляционные функции стационарных процессов также не зависят от

Определим для произвольных фиксированных функции

где вместо С используется символ для того, чтобы отличать эти величины от корреляционных функций, введенных формулами (5.3). При ненулевых средних отличны от С. Величины называются автокорреляционными или ковариационными функциями процессов и

соответственно, называется взаимной ковариационной функцией

Для того чтобы была ковариационной функцией слабо стационарного случайного процесса необходимо и достаточно, чтобы была неотрицательно определенной функцией. Можно также показать, что непрерывная функция от если она непрерывна в нуле. Аналогично непрерывная функция во всех точках если и непрерывны в нуле [5.3].

Для двух стационарных случайных процессов совместная плотность вероятности пары случайных величин не зависит от Совместная плотность вероятности относящаяся к паре случайных величин тоже не зависит от Этим же свойством обладает совместная плотность вероятности характеризующая случайные величины . В терминах этих плотностей имеем

При произвольных ковариационные функции связаны с корреляционными функциями соотношениями

Следовательно, корреляционные функции совпадают с ковариационными, если средние значения равны нулю. Заметим, что, по определению, два стационарных случайных процесса не коррелированы, если для всех . В силу формул (5.8) это имеет место, если только цхцу для всех Следовательно, если то два процесса не коррелированы только тогда, когда хотя бы одно из средних или равно нулю.

Из предположения стационарности следует, что ковариационные функции и четные функции от т. е.

В то же время взаимная ковариационная функция не обладает свойством

четности или нечетности, но удовлетворяет соотношению

Соотношение (5.10) доказывается следующим образом. По определению,

где зависимость от к опущена для простоты обозначений. Поскольку результат не зависит от сдвига начала отсчета, можно заменить на до взятия математического ожидания. Поэтому

что завершает доказательство. При получаем

т. е. формула (5.9) — частный случай формулы (5.10).

Корреляционные свойства стационарных случайных процессов описываются четырьмя функциями которые можно вычислять только для значений поскольку из соотношений (5.9) и (5.10) легко получить их значения для