7.2.3. ФУНКЦИИ ОБЫЧНОЙ И МНОЖЕСТВЕННОЙ КОГЕРЕНТНОСТИ

Вернемся к общему случаю коррелированных входных процессов, когда любое положительное число, меньшее единицы. Функции обычной когерентности между каждым входным процессом и выходным процессом равны

где числители — это и определенные из уравнений (7.22).

Произведение задает когерентный спектр выходного процесса, равный вкладу х, в выходной процессу. Однако влияет на выход не только через систему с частотной характеристикой . В силу того что частьх, влияет на выход и через систему с частотной характеристикой . Аналогично попадает на выход как через систему с частотной характеристикой так и через систему с частотной характеристикой если обычный когерентный спектр выходного процесса учитывает все способы, какими влияет на выходной процесс у. Вообще говоря, при малой сумма превосходит единицу, если входные процессы коррелированы.

Функция множественной когерентности — это сравнительно простое понятие, непосредственно обобщающее функцию обычной когерентности. По определению, функция множественной когерентности равна отношению идеального спектра выходного процесса, обусловленного наблюдаемыми входными процессами при отсутствии шума, к суммарному спектру выход-. ного процесса, включая вклад шума. Формально функция множественной когерентности есть

поскольку Для системы с двумя входами общего вида определяется формулой (7.26). Множественный когерентный спектр выходного процесса определяется как произведение функции множественной когерентности и спектра выходного процесса:

Очевидно, из формулы (7.35) следует, что для любых

Эта функция равна 1, если что соответствует идеальной линейной системе, и равна нулю, если Последнее равенство означает, что выходной процесс не обусловлен какими-либо линейными операциями над наблюдаемыми входными процессами.

Для системы с одним входом и одним выходом, когда идеальный спектр выходного процесса, как показывает формула (6.59), равен

где Тогда

Следовательно, функция множественной когерентности в этом случае совпадает с функцией обычной когерентности.

Для системы с двумя входами и одним выходом при некоррелированных входных процессах идеальный спектр выходного процесса в соответствии с формулой (7.32) имеет вид

В этом случае функция множественной когерентности равна

Это означает, что при некоррелированных входных процессах функция множественной когерентности равна сумме функций обычной когерентности между каждым входным процессом и выходным процессом. Для коррелированных входных процессов такой простой зависимости нет.

ПРИМЕР 7.1. МНОЖЕСТВЕННАЯ КОГЕРЕНТНОСТЬ ДЛЯ НЕКОРРЕЛИРОВАННЫХ ВХОДНЫХ ПРОЦЕССОВ. Рассмотрим пример системы с двумя некоррелированными процессами на входе и одним выходным процессом; действием шума на выходе можно пренебречь. Предположим, что эти два входных процесса порождают одинаковые спектры на выходе. В данном случае

Здесь каждый вход и выход соединены линейными системами с постоянными параметрами и частотными характеристиками в силу наличия второго входного процесса. Если бы он не наблюдался и система рассматривалась как система с одним входом и одним выходом, то это привело бы к ложным выводам.