8.3. Плотность вероятности

Рассмотрим задачу оценивания плотности вероятности отдельной реализации стационарного эргодического случайного процесса

Вероятность того, что ордината примет некоторое значение в интервале за время можно оценить выражением

где промежуток времени, в течение которого ординаты находятся в пределах указанного интервала при попадании в этот интервал; Отношение представляет собой суммарную долю времени, в течение которого ординаты находятся в интервале Следует отметить, что величина обычно зависит от ординаты х. Оценка вероятности стремится к истинной вероятности при Кроме того, она является несмещенной оценкой истинной вероятности. Следовательно,

Одномерная плотность вероятности равна, по определению,

где

есть выборочная оценка величины Вероятность того, что ордината реализации попадает в интервал между можно выразить через плотность вероятности следующим образом:

В частности,

Тогда из формулы (8.64) следует, что

Таким образом, вообще говоря,

и, следовательно, в общем случае представляет собой смещенную оценку функции

Средний квадрат ошибки оценки находят по формуле (8.5):

где дисперсия оценки, определяемая формулой

смещение оценки, определяемое формулой