Главная > Прикладной анализ случайных данных
НАПИШУ ВСЁ ЧТО ЗАДАЛИ
СЕКРЕТНЫЙ БОТ В ТЕЛЕГЕ
<< Предыдущий параграф Следующий параграф >>
Пред.
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
13
14
15
16
17
18
19
20
21
22
23
24
25
26
27
28
29
30
31
32
33
34
35
36
37
38
39
40
41
42
43
44
45
46
47
48
49
50
51
52
53
54
55
56
57
58
59
60
61
62
63
64
65
66
67
68
69
70
71
72
73
74
75
76
77
78
79
80
81
82
83
84
85
86
87
88
89
90
91
92
93
94
95
96
97
98
99
100
101
102
103
104
105
106
107
108
109
110
111
112
113
114
115
116
117
118
119
120
121
122
123
124
125
126
127
128
129
130
131
132
133
134
135
136
137
138
139
140
141
142
143
144
145
146
147
148
149
150
151
152
153
154
155
156
157
158
159
160
161
162
163
164
165
166
167
168
169
170
171
172
173
174
175
176
177
178
179
180
181
182
183
184
185
186
187
188
189
190
191
192
193
194
195
196
197
198
199
200
201
202
203
204
205
206
207
208
209
210
211
212
213
214
215
216
217
218
219
220
221
222
223
224
225
226
227
228
229
230
231
232
233
234
235
236
237
238
239
240
241
242
243
244
245
246
247
248
249
250
251
252
253
254
255
256
257
258
259
260
261
262
263
264
265
266
267
268
269
270
271
272
273
274
275
276
277
278
279
280
281
282
283
284
285
286
287
288
289
290
291
292
293
294
295
296
297
298
299
300
301
302
303
304
305
306
307
308
309
310
311
312
313
314
315
316
317
318
319
320
321
322
323
324
325
326
327
328
329
330
331
332
333
334
335
336
337
338
339
340
341
342
343
344
345
346
347
348
349
350
351
352
353
354
355
356
357
358
359
360
361
362
363
364
365
366
367
368
369
370
371
372
373
374
375
376
377
378
379
380
381
382
383
384
385
386
387
388
389
390
391
392
393
394
395
396
397
398
399
400
401
402
403
404
405
406
407
408
409
410
411
412
413
414
415
416
417
418
419
420
421
422
423
424
425
426
427
428
429
430
431
432
433
434
435
436
437
438
439
440
441
442
443
444
445
446
447
448
449
450
451
452
453
454
455
456
457
458
459
460
461
462
463
464
465
466
467
468
469
470
471
472
473
474
475
476
477
478
479
480
481
482
483
484
485
486
487
488
489
490
491
492
493
494
495
496
497
498
499
500
501
502
503
504
505
506
507
508
509
510
511
512
513
514
515
516
517
518
519
520
521
След.
Макеты страниц

Распознанный текст, спецсимволы и формулы могут содержать ошибки, поэтому с корректным вариантом рекомендуем ознакомиться на отсканированных изображениях учебника выше

Также, советуем воспользоваться поиском по сайту, мы уверены, что вы сможете найти больше информации по нужной Вам тематике

ДЛЯ СТУДЕНТОВ И ШКОЛЬНИКОВ ЕСТЬ
ZADANIA.TO

4.6. Критерий согласия хи-квадрат

Для проверки эквивалентности плотности вероятности выборочных данных некоторой гипотетической плотности часто используется особый критерий, называемый критерием согласия хи-квадрат. Общая идея критерия заключается в использовании в качестве меры расхождения наблюдаемой плотности вероятности и гипотетической плотности некоторой статистики, приближенно подчиняющейся распределению хи-квадрат -распределению). Затем гипотеза относительно их эквивалентности проверяется путем изучения выборочного распределения этой статистики.

Пусть, например, дана выборка из независимых наблюдений случайной величины х с плотностью Сгруппируем наблюдений по К интервалам, называемым интервалами группировки, которые в совокупности образуют гистограмму частот. Число наблюдений, попавших интервал, называется наблюденной частотой интервала; обозначим ее Число наблюдений, которые могли бы попасть интервал, если бы истинной плотностью х была называется ожидаемой частотой интервала; обозначим Далее, расхождение между наблюденной и ожидаемой частотами в каждом интервале равно Для того чтобы измерить общее расхождение по всем интервалам, нормируем квадраты расхождений соответствующими ожидаемыми частотами и просуммируем их: получим выборочную статистику

В работе [4.1] показано, что распределение величины из формулы (4.49) приближенно совпадает с -распределением, изученным в разд. 4.2.2. Число степеней свободы в этом случае равно К минус число различных независимых линейных ограничений, наложенных на наблюдения. Существует одно такое ограничение, связанное с тем, что частота в последнем интервале группировки полностью определяется частотами всех остальных интервалов. Если при сравнении плотностей одновременно подбираются параметры гипотетического распределения с целью достижения наилучшего согласия с гистограммой частот, построенной по выборочным данным, то добавляется по одному ограничению на каждый независимый параметр гипотетической плотности, который будет определяться для достижения этого согласия. Например, если гипотетическая плотность — нормальная, с неизвестными средним значением и дисперсией, то появятся два дополнительных ограничения, поскольку для подбора нормальной плотности придется оценить два параметра (среднее значение и дисперсию). Следовательно, в том обычном случае, когда критерий согласия хи-квадрат применяется для проверки нормальности, число степеней свободы из формулы (4.49) равной

После выбора числа степеней свободы величины проверка гипотезы проводится следующим образом. Предположим, что случайная величина х имеет плотность Сгруппировав выборочные значения по К интервалам и вычислив ожидаемую частоту для каждого интервала группировки в предположениир найдем по формуле (4.49). Поскольку любое отклонение от вызовет увеличение то используем односторонний критерий (по верхней границе). Область принятия гипотезы имеет вид

где значение берется из табл. А.3. Если выборочное значение превышает гипотеза о том, что отвергается с уровнем

значимости а. Если меньше то гипотеза принимается с тем же уровнем значимости а.

Известны два основных способа применения критерия согласия хи-квадрат. Первый заключается в выборе таких интервалов группировки, которые обеспечивают равенство ожидаемых частот для всех интервалов. За исключением гипотезы о равномерности распределения, такой способ приводит к интервалам группировки различной длины. Второй способ состоит в выборе интервалов одинаковой длины. Опять-таки за исключением гипотезы о равномерности распределения, в этом случае разными окажутся частоты попадания в тот или иной интервал. Для проверки нормальности с помощью критерия согласия хи-квадрат обычно используются интервалы равной длины. Если стандартное отклонение выборочных данных равное, то часто берут интервалы группировки длиной Более существенное требование заключается в том, что ожидаемые частоты для каждого интервала группировки должны быть достаточно большими, с тем чтобы с приемлемой точностью приближала величину из формулы (4.49). Обычно рекомендуется добиваться выполнения условия для всех интервалов. При проверке нормальности, когда частоты, соответствующие хвостам распределения, быстро убывают, обычно в качестве первого и последнего интервалов выбирают интервалы, простирающиеся соответственно до причем должно выполняться указанное выше требование

Таблица 4.1. (см. скан) Выборочные значения, упорядоченные по возрастанию

Таблица 4.2. (см. скан) Вычисления, выполняемые при построении критерия согласия

ПРИМЕР 4.3. ПРОВЕРКА НОРМАЛЬНОСТИ В табл. 4.1 представлена выборка из независимых наблюдений преобразованного к числовому виду выхода генератора теплового шума. Для удобства выборочные значения упорядочены по возрастанию. Проверим выход генератора шума на нормальность с помощью критерия хи-квадрат с уровнем значимости

Все вычисления, необходимые для построения критерия, сведены в табл. 4.2. При длине интервалов границы интервалов группировки, определенные по стандартному нормальному распределению, приведены в столбце, отмеченном символом Следующий столбец содержит те же величины после преобразования в вольты. По табл. определим, используя значения вероятность попадания выборочных значений в каждый из интервалов группировки. Произведение на размер выборки даст ожидаемые частоты для каждого интервала; эти частоты представлены в столбце, отмеченном символом Заметим, что первый и последний интервалы выбраны так, что . В результате получилось 12 интервалов. Подсчитаем затем наблюденные частоты, используя границы интервалов (табл. 4.1). После этого вычислим и просуммируем нормированные квадраты расхождений ожидаемых и наблюденных частот; получим Отметим, что в данном случае число степеней свободы равно Область принятия гипотезы находим из табл. А.3;

получаем Следовательно, гипотеза о нормальности принимается с уровнем значимости

1
Оглавление
email@scask.ru