4.4 Доверительные интервалы

В разд. 4.1 обсуждалось использование выборочных значений в качестве оценок параметров случайных величин. Однако такие процедуры дают только точечные оценки интересующих нас параметров; они не позволяют

судить о степени близости выборочных значений к оцениваемому параметру. Более содержательны процедуры оценивания параметров, связанные не с получением точечного значения, а с построением интервала, который накрывает оцениваемый параметр с известной степенью достоверности. Пусть, например, выборочное среднее х, вычисленное по независимым наблюдениям случайной величины х, используется в качестве оценки среднего Обычно представляет интерес оценить в терминах некоторого интервалах в который попадает с заданной степенью достоверности. Такие интервалы можно построить, если известны выборочные распределения рассматриваемой оценки.

Продолжим пример оценивания среднего значения. В разд. 4.3 было показано, что относительно значений выборочного среднего можно сделать следующее вероятностное утверждение:

Формально это утверждение верно до получения выборки и вычислениях. После получения выборки значение становится вполне определенным числом, а не случайной величиной. Следовательно, можно сказать, что вероятностное утверждение, содержащееся в формуле (4.44), теряет смысл, поскольку величина либо попадает в указанные границы, либо не попадает. Другими словами, после получения выборки формально правильным будет следующее утверждение:

Обычно истинное значение вероятности (4.45), равное либо нулю, либо единице, неизвестно. Однако по мере уменьшения а (увеличения интервала, заключенного между разумно считать, что эта вероятность скорее равна единице, чем нулю. Иначе говоря, если производится много выборок и для каждой из них вычисляется значение х, то можно ожидать, что участвующая в формуле (4.45) величина будет попадать в указанный интервал с относительной частотой, примерно равной 1 — а. При таком подходе можно утверждать, что существует интервал, в который величина попадает с большой степенью достоверности. Такие утверждения называются доверительными. Интервал, относительно которого делается доверительное утверждение, называется доверительным интервалом. Степень доверия, сопоставляемая доверительному утверждению, называется уровнем доверия.

При оценивании среднего значения доверительный интервал для среднего можно построить по выборочному значению х, перегруппировав

члены в формуле (4.45):

Далее, если неизвестна, то доверительный интервал для можно построить по выборочным значениям перегруппировав члены в формуле (4.39):

В формулах (4.46) использованы свойства Этим интервалам соответствует уровень доверия 1 — а. Следовательно, доверительное утверждение звучит так: истинное значение попадает в указанный интервал с доверительной вероятностью или (в общепринятых терминах) с доверительной вероятностью Подобные утверждения можно делать относительно любых оценок параметров, лишь бы были известны соответствующие выборочные распределения. Например, формула (4.37) позволяет построить доверительный интервал с уровнем доверия для дисперсии по выборочной дисперсии вычисленной по выборке размером N:

ПРИМЕР 4.1. ПОСТРОЕНИЕ ДОВЕРИТЕЛЬНЫХ ИНТЕРВАЛОВ. Пусть выборка содержит независимое наблюдение нормально распределенной случайной величины х:

Найдем 90%-доверительные интервалы для среднего значения и дисперсии случайной величины х.

Согласно формуле (4.466), доверительный интервал с уровнем доверия для среднего значения строится по выборочному среднему х и

дисперсии при размере выборки

Из табл. А.4 для находим поэтому интервал имеет вид

Согласно формуле (4.47), доверительный интервал для дисперсии с уровнем доверия строится по выборочной дисперсии при размере выборки

Из табл. А.3 для находим поэтому интервал принимает вид

Остается вычислить выборочное среднее и выборочную дисперсию и подставить эти значения в формулы для доверительных интервалов. Выборочное среднее вычисляем по формуле (4.3):

Выборочную дисперсию находим по формуле (4.12):

Итак, доверительные интервалы с уровнем доверия 90% для среднего значения и дисперсии случайной величины х таковы: