5.1.3. НОРМИРОВАННАЯ КОВАРИАЦИОННАЯ ФУНКЦИЯ

Для взаимной ковариационной функции справедливо неравенство

называемое неравенством для взаимных ковариационных функций. Доказать его можно следующим образом. Для любых действительных чисел а и математическое ожидание

поскольку в нем участвуют только неотрицательные величины. Это неравенство эквивалентно следующему:

Поэтому в предположении

Левая часть этого неравенства представляет собой квадратный трехчлен относительно не имеющий в силу последнего неравенства различных действительных корней. Поэтому дискриминант этого трехчлена не превосходит нуля, т. е.

Следовательно,

что завершает доказательство.

Рассматривая вместо тем же способом получаем неравенство для взаимных корреляционных функций:

Заметим, что

поэтому максимальные значения достигаются в и равны соответственно среднему квадрату и дисперсии процессов, т. е.

Следовательно, неравенство (5.12) можно записать как

Определим теперь коэффициент корреляции (нормированную взаимную корреляционную функцию)

который для всех удовлетворяет неравенствам

Если одна из величин или равна нулю, то

так как в этом случае Функция характеризует степень линейной зависимости между при данном сдвиге процесса по отношению к процессу По сути дела, это — обобщение коэффициента корреляции, используемого в классической статистике и изученного в разд. 3.2.1 и 4.8.1.