5.2.6. СООТНОШЕНИЕ НЕОПРЕДЕЛЕННОСТИ

Рассмотрим стационарный случайный процесс с нулевым средним значением, ковариационной функцией и соответствующей двусторонней спектральной плотностью согласно определениям (5.6) и

где

Известно также, что

Вместо можно использовать одностороннюю спектральную плотность равную

Следовательно,

Сейчас мы дадим определения эффективной шумовой ширины спектра и эффективного шумового времени корреляции. Для произведения этих величин будет установлено полезное соотношение неопределенности.

Эффективная шумовая ширина спектра по определению равна

Эффективное шумовое время корреляции определяется как

Из этих соотношений следует, что

Оценка этого произведения и дает соотношение неопределенности: для любой и соответствующей произведение

удовлетворяет неравенству

Следовательно, с уменьшением величина растет и, наоборот, с уменьшением растет

Доказывается соотношение неопределенности следующим образом. Из формулы (5.105) имеем для любого

Поэтому

Подставив неравенство (5.111) в формулу (5.108), немедленно получаем соотношение (5.109). Заметим, что в этом доказательстве неравенство Коши — Буняковского — Шварца не используется.

ПРИМЕР 5.8. НИЗКОЧАСТОТНЫЙ БЕЛЫЙ ШУМ. В случае низкочастотного белого шума имеем

Для этого процесса эффективная шумовая ширина спектра равна

а эффективное шумовое время корреляции равно

Следовательно, что, конечно, удовлетворяет соотношению неопределенности (5.109). Форма подсказывает, что в этом случае удобнее задать как ширину главного максимума, в котором сосредоточена основная часть энергии, а именно Тогда т. е. соотношение неопределенности выполняется и в этом случае.

ПРИМЕР 5.9. СПЕКТР ГАУССОВА ШУМА. Для этого процесса имеем

В этом случае эффективная шумовая ширина спектра равна

Тогда

Эффективное шумовое время корреляции есть

поэтому

Заметим, что в случае гауссова шума соотношение неопределенности превращается в равенство

ПРИМЕР 5.10. ШУМ С ЭКСПОНЕНЦИАЛЬНОЙ КОВАРИАЦИОННОЙ ФУНКЦИЕЙ. Для шума с экспоненциальной ковариационной функцией имеем

Эффективное шумовое время корреляции есть Следовательно,

В этом случае соотношение неопределенности тоже превращается в равенство Другие примеры, иллюстрирующие соотношение неопределенности, можно построить, используя из табл. 5.1 и 5.2.