3.2.2. РАСПРЕДЕЛЕНИЕ СУММЫ ДВУХ СЛУЧАЙНЫХ ВЕЛИЧИН

Пусть и случайные величины, имеющие совместную плотность вероятности Найдем плотность вероятности суммы случайных величин

При фиксированном х имеем Поэтому

При фиксированном значения х пробегают интервал от до Поэтому

откуда видно, что для вычисления искомой плотности суммы нужно знать исходную совместную плотность вероятности. Если и независимые случайные величины, имеющие плотности соответственно, и

Пример 3.5. Сумма двух независимых, равномерно распределенных случайных величин. Пусть две независимые случайные величины имеют плотности вида

В остальных случаях Найдем плотность вероятности их суммы

Плотность вероятности для т. е. для Следовательно, х не превышает Кроме того, не равно нулю для По формуле (3.38) находим, что

Графики функций показаны на рис. 3.4. Заметим, что сумма двух независимых, равномерно распределенных случайных величин имеет треугольную плотность вероятности. Нетрудно убедиться, что плотность суммы четырех независимых, равномерно распределенных случайных величин близка к нормальной плотности, как и должно быть согласно центральной предельной теореме, которая будет сформулирована в следующем разделе.

Рис. 3.4. Плотность вероятности суммы двух независимых, равномерно распределенных случайных величин.