8.5.4. ОЦЕНКИ СПЕКТРАЛЬНОЙ ПЛОТНОСТИ, ПОЛУЧЕННЫЕ ФИНИТНЫМ ПРЕОБРАЗОВАНИЕМ ФУРЬЕ

В разд. 8.5.2 приведено выражение для дисперсии оценок спектральной плотности, которые получают путем фильтрации, возведения в квадрат и усреднения. Эти операции обычно осуществляются с помощью аналоговой аппаратуры. Можно найти также выражение для дисперсии оценок спектральной плотности, полученные путем непосредственного преобразования Фурье. Эту операцию осуществляют с помощью цифровых вычислительных машин, используя описанный в гл. 11 алгоритм быстрого преобразования Фурье. Краткое описание второго способа вычисления спектра может облегчить задачу определения ошибок, характеризующих оценки спектральной плотности.

Рассмотрим вычисляемую по формуле (5.67) спектральную плотность стационарного (эргодического) гауссова случайного процесса В частном случае реализации неограниченной длины спектр имеет вид

— финитное преобразование Фурье функции

«Несглаженную» оценку величины можно теперь получить, просто опуская в формуле (8.147) знаки предела и математического ожидания:

При этом обеспечивается максимально высокая разрешающая способность

Для того чтобы найти дисперсию этой оценки, заметим, что финитное

преобразование Фурье дает ряд составляющих с частотами таек Отметим также, что есть комплексная величина, действительная и мнимая части которой представляют собой, как можно показать, некоррелированные случайные величины с нулевыми средними значениями и одинаковыми дисперсиями. Так как преобразование Фурье есть линейная операция, то очевидно, что в том случае, когда процесс подчиняется нормальному распределению, функции и будут нормальными случайными величинами. Отсюда можно заключить, что величина

есть сумма квадратов двух независимых величин. Следовательно, как вытекает из определения (4.16) с учетом выражения (4.37), каждая частотная составляющая оценки имеет выборочное распределение

где величина, подчиняющаяся -распределению с степенями свободы.

Необходимо подчеркнуть, что величина (8.151) не зависит от длины реализации Поэтому при увеличении длины реализации функция распределения, которая описывает случайную ошибку полученной оценки, не меняется, а только возрастает число частотных составляющих оценки. Если длину реализации интерпретировать как меру объема выборки, характеризующего данную оценку, то отсюда следует, что формула (8.149) дает несостоятельную оценку спектральной плотности (что отмечалось еще в разд. 5.2.2). Кроме того, случайная ошибка такой оценки достаточно велика. Обращаясь к соотношениям (4.19) и (4.20), можно видеть, что среднее значение и дисперсия величины, подчиняющейся -распределению, составляют соответственно. Поэтому нормированная стандартная ошибка, определяющая случайную погрешность полученной оценки, будет иметь вид

В рассматриваемом случае т.е. среднеквадратичная ошибка оценки равна оцениваемой величине. В большинстве случаев такая ошибка неприемлема.

На практике случайную ошибку спектральной оценки, получаемой по уравнению (8.149), уменьшают путем вычисления оценок по различным (неперекрывающимся, отдельным) участкам реализаций длиной каждая и их последующего усреднения, что приводит к «сглаженной» оценке

Поскольку каждое слагаемое в правой части равенства (8.153) дает две статистические степени свободы, сглаженная оценка имеет ошибку

Очевидно, что минимальная общая длина реализации, необходимая для получения оценки спектра, есть

а разрешение спектральной оценки по частоте задается приближенным равенством

Таким образом, и формула (8.154) эквивалентна соотношению

что совпадает с (8.144) при замене на

Возвращаясь к формуле (8.151), заметим, что выборочное распределение оценки спектральной плотности можно теперь записать в виде

В соответствии с равенством (4.47) доверительный интервал для спектральной плотности основанный на оценке с вероятностью есть

Как и прежде, при сравнительно небольшой случайной ошибке (скажем, ) приближенный 95%-доверительный интервал для спектральной плотности может быть получен в соответствии с формулами (8.14) и (8.154) в виде

Следует отметить, что случайные ошибки при вычислении спектральных плотностей будут в действительности несколько больше в зависимости от детальных особенностей метода. Этот вопрос рассмотрен в разд. 11.5.1.