9.2.1. СМЕЩЕНИЕ ОЦЕНОК ЧАСТОТНОЙ ХАРАКТЕРИСТИКИ

Оценки частотной характеристики и функции когерентности обычно содержат систематическую ошибку, источником которой могут быть указанные ниже факторы:

1. Смещение, свойственное методу оценивания;

2. Смещение, связанное с запаздыванием при распространении входного процесса в системе.

3. Нелинейность системы и (или) зависимость ее параметров от времени.

4. Смещение оценок спектральной и взаимной спектральной плотностей.

5. Измерительные шумы на входе (присутствие некоррелированного шума на выходе не создает смещения оценок).

6. Наличие других входных процессов, коррелированных с измеряемым (наличие других некоррелированных с данным входных процессов не создает смещения, поскольку по отношению к измеряемому входу их можно рассматривать как дополнительный некоррелированный шум на выходе).

Первый источник смещения обязан своим существованием тому факту, что, вообще говоря,

Следовательно, Эти ошибки смещения обычно малы сравнительно с другими типами ошибок, возникающими при практическом анализе, и в этих случаях, когда сочетание величин таково, что соответствующая нормированная случайная ошибка мала, ими можно пренебречь. При или эти систематические ошибки стремятся к нулю.

Второй источник ошибки смещения связан с тем, что при измерении в одной системе отсчета времени необходимо вводить поправку на запаздывание при преобразовании системой процесса это нужно делать в случаях, когда задержку нельзя считать пренебрежимо малой по сравнению с длиной реализации Пусть

В этом случае оценку взаимной ковариационной функции можно записать в первом приближении в виде

откуда видно, что таким образом, смещенная оценка. Следовательно,

Поэтому оценки также смешены. Для того чтобы избавиться от возможной ошибки смещения, сигнал следует сдвинуть по времени на так, чтобы сдвиг по времени между ними стал равным нулю. Запаздывание можно оценить либо из физических соображений, зная скорость распространения сигнала в системе, либо оценивая функцию и локализуя ее первый экстремум [9.3]

Третья причина, вызывающая ошибку смещения, это нарушение основных допущений о линейности системы и независимости ее параметров от времени. Даже в тех случаях, когда предположение о постоянстве параметров в достаточной степени оправданно, свойство линейности зачастую оказывается нарушенным, если диапазон изменений процессов достаточно широк. Следует, однако, отметить, что применение формул (9.53) к нелинейным системам даст при заданных условиях на входе и выходе системы наилучшее (в смысле метода наименьших квадратов) линейное приближение для частотной характеристики системы. Это обстоятельство составляет важное преимущество прямого способа оценивания частотной характеристики по реальным данным, а не по результатам лабораторных экспериментов или искусственным данным, которые не способны воспроизвести действительные условия на входе реальной системы.

Четвертый источник ошибок смещения связан со смещенностью оценок спектральной плотности. Как показано в разд. 8.5.1, эта ошибка может быть довольно значительной на частотах максимумов спектральной плотности. Ошибку этого рода можно уменьшить, правильно подбирая разрешающую способность оценок спектра и взаимного спектра, т. е. принимая достаточно малым, так чтобы правильно локализовать спектральные максимумы. Количественная формула приведена в примере 8.5 для спектральных оценок, описывающих резонирующую систему.

Измерительный шум наблюдающийся на входе системы, но не проходящий через нее, представляет собой пятый источник ошибок смещения. Если истинный процесс на входе есть и то спектр измеренного входного процесса имеет вид Равенства (9.53) и (9.54) принимают теперь вид

(зависимость от частоты опущена для сокращения записи). При отсутствии прочих ошибок смешения имеем и

Поскольку все эти математические ожидания будут занижены сравнительно с истинными значениями, т. е. оценки имеют отрицательное смещение. Нормированная ошибка смещения (8.96) принимает в этом случае вид

Например, при отрицательное смешение получаемых оценок составит

Шестой источник систематической ошибки, указанный выше, связан с присутствием других входных процессов, коррелированных с измеряемым входом. Появление этой ошибки легко видеть, добавляя в разд. 7.2 еще один входной процесс, коррелированной с первым входом. В частности, можно показать, что при аккуратном решении этой задачи частотная характеристика будет определяться формулой (7.23). С другой стороны, если считать, что система имеет по одному процессу на входе и выходе, то оценку следует искать с помощью формулы (9.53). Ее математическое ожидание не совпадает с истинным значением т. е. оценка смещена. Далее, оценку функции когерентности между и выходным процессом у при наличии коррелированного с х, входа следует искать в виде (7.34). Если же считать, что на входе присутствует только то оценка определяется формулой (9.54). Математическое ожидание этой оценки также не дает верного результата.

Рассмотренные здесь ошибки смещения появляются и в более общем случае систем со многими входными и выходными процессами, и их оценивание требует более сложных формул.