9.1.2. ФОРМУЛЫ ДЛЯ КОВАРИАЦИЙ ОЦЕНОК

Получим теперь некоторые основные формулы для ковариаций оценок. По определению (3.33), ковариация двух несмещенных «несглаженных» оценок параметров есть

Приращения равны Оценки называются некоррелированными, если Применяя формулу (9.17), получаем

Следовательно, согласно (9.34), на каждой частоте

Подобным же образом нетрудно убедиться, что

Кроме того,

Следовательно,

Докажем теперь следующие формулы для ковариаций:

Иными словами, оценка некоррелирована с на любой частоте Для доказательства формул (9.40) заметим, что Аппроксимируя производные обеих частей этого равенства конечными разностями, получаем

где

Таким образом,

Положив

и пользуясь формулой (9.37), получим, что

Очевидно и величина Формула (9.40) доказана.

Для доказательства соотношения (9.41) заметим, что Аппроксимация производных конечными разностями дает

Таким образом, с

Из формул (9.42) и (9.43) следует, что

Соотношение (9.41) доказано.

Пользуясь равенством (9.43), можно получить также следующие формулы для ковариации:

Формула (9.43) позволяет получить следующий приближенный результат для дисперсии оценки

Эта приближенная формула, полученная в работе (9.2) путем аппроксимации производной конечной разностью, уступает более точной формуле (9.28), полученной прямым путем:

Поскольку

при всех дисперсия, задаваемая формулой (9.47), всегда превышает дисперсию, определяемую по формуле (9.46).

Рассмотрим функцию когерентности

После логарифмирования имеем

а конечно-разностная аппроксимация производных дает приближенное равенство

где

Таким образом,

С учетом соотношений (9.40) и (9.41) отсюда сразу следует, что

Таблица 9.2. Формулы для ковариаций различных оценок