5.2. Функции спектральной плотности

Функции спектральной плотности можно определять тремя различными эквивалентными способами, которые будут описаны в последующих разделах:

а) с помощью ковариационных функций;

б) с помощью финитного преобразования Фурье;

в) с помощью фильтрации, возведения в квадрат и усреднения. Будут также получены важные соотношения для этих функций, которые используются во многих приложениях.

5.2.1. ОПРЕДЕЛЕНИЕ СПЕКТРОВ С ПОМОЩЬЮ КОВАРИАЦИОННЫХ ФУНКЦИЙ

Исторически первый способ определения спектральной плотности появился в математике. Он состоит во взятии преобразования Фурье от предварительно вычисленной ковариационной функции. После вычитания средних такие (бесконечные) преобразования Фурье обычно существуют, даже если (бесконечное) преобразование Фурье исходного стационарного случайного процесса не существует. Этот подход дает двустороннюю спектральную плотность, обозначаемую и определенную для из

Пусть существуют ковариационные и взаимная ковариационная функции задаваемые формулами (5.6). Предположим далее, что конечны интегралы от их абсолютных величин:

На практике это условие всегда выполняется для реализиций конечной длины. Тогда преобразования Фурье функций существуют и определяются формулами

Такие интегралы по конечным реализациям существуют всегда. Величины называются функциями спектральной плотности процессов соответственно или просто спектральными плотностями, называется взаимной спектральной плотностью

Обратные преобразования Фурье от формул (5.27) дают

При решении практических задач приходится допускать наличие в дельта-функций. Соотношения (5.27) и (5.28) часто называются формулами Винера — Хинчина в честь математиков Н. Винера из США и А. И. Хинчина из СССР, которые в начале 30-х годов независимо установили связь между ковариационными функциями и спектральными плотностями через преобразование Фурье.

Из свойств симметрии стационарных ковариационных функций, описываемых формулами (5.9) и (5.10), следует, что

Следовательно, спектральные плотности действительные четные функции от а взаимная спектральная плотность — комплексная функция от Позже будет доказано также, что неотрицательны для всех

Формула (5.30) доказывается следующим образом. По определению,

Сразу видно, что Выполним теперь замену переменных в первом интеграле, положив Тогда

Но согласно формуле (5.10). Поэтому

что завершает доказательство. Формулы (5.29) — частный случай формулы (5.30) при

Спектральные соотношения из формул (5.27) можно преобразовать к виду

Обратные преобразования имеют вид

Односторонние спектральные плотности где изменяется только в пределах интервала определяются формулами

а вне указанной области значений имеем Именно эти

Рис. 5.3. Односторонняя и двусторонняя спектральные плотности.

величины измеряются на практике с помощью прямой фильтрации. Однако использование в математических расчетах функций определенных на и показательных функций с мнимым аргументом часто упрощает анализ. Большое значение имеет возможность свободно оперировать с обоими представлениями, и оба они будут использоваться в этой книге. Рис. 5.3 иллюстрирует связь между этими функциями.

Односторонние спектральные плотности связаны со стационарными ковариационными функциями соотношениями

Обратные преобразования имеют вид

В частности, при получаем

Односторонняя взаимная спектральная плотность где

изменяется на определяется как

а в остальных случаях Из формулы (5.27) имеем

где называется коспектральной плотностью (коспектром), а квадратурной спектральной плотностью (квадратурным спектром). В терминах взаимная ковариационная функция имеет вид

Заметим, что выражаются через а не через Отметим также, что при

Величину можно определить, зная

Одностороннюю взаимную спектральную плотность можно представить в комплексной полярной форме:

где модуль и фазовый угол определяются формулами

Знаки членов могут быть как положительными, так и отрицательными, и их сочетание определяет квадрант, в котором располагается фазовый угол. Эти знаки определяют также частоты, на которых функция опережает или опережает Если реализация опережает то это означает, что где Связь фазового угла с показана на рис. 5.4. Аналогично двусторонняя взаимная спектральная плотность в комплексной полярной форме имеет вид

Рис. 5.4. Связь между фазовым углом и составляющими взаимной спектральной плотности.

где то же, что и в формулах (5.41) и (5.43).

Из формулы (5.38) следует, что

Поэтому действительнозначная четная функция действительнозначная нечетная функция Итак,

Спектральные характеристики стационарных случайных процессов описываемые тремя функциями или четырьмя функциями достаточно вычислять только для поскольку соотношения (5.29), (5.30) и (5.45) позволяют вычислить их для Очевидно, соответствующие функции С должны вычисляться только для

При выполнении операций над спектральными плотностями, включающими дельта-функции в удобно считать, что нижний предел интегрирования понимается как предел слева в нуле. В частности, если то отсюда следует, что . В этой ситуации тоже имеет вид т. е. множитель 2 в формуле (5.37) в случае

(кликните для просмотра скана)

дельта-функции в отсутствует. Это рассуждение не имеет силы для ковариационных функций, содержащих дельта-функцию в поскольку ковариационные функции определены для всех Поэтому соответствует как плотности для всех так и для

В табл. 5.2 приводятся примеры функций спектральной плотности, применяемых в теоретических исследованиях.

Ограниченный по частоте белый шум. По определению, ограниченный по частоте белый шум — это стационарный случайный процесс с постоянной спектральной плотностью вида

Здесь центральная частота прямоугольного фильтра с шириной полосы В. Процесс этого вида называется также узкополосным белым шумом. По формуле (5.35) находим, что соответствующая ковариационная функция есть

В частном случае процесс называется низкочастотным белым шумом и имеет спектральную плотность вида

с ковариационной функцией

Соответствующие графики изображены в табл. 5.1 и 5.2. Узкополосный белый шум, в том числе и низкочастотный, имеет конечный средний квадрат вида

Такими плотностями иногда аппроксимируют спектры реальных процессов.

Предельный случай низкочастотного ограниченного по частоте белого шума, именуемый белым шумом, по определению, имеет спектр, равный постоянной для всех частот. Такой процесс на практике встретиться не может. Именно в случае белого шума при

Поэтому

откуда видно, что белый шум имеет бесконечный средний квадрат. Такой чисто теоретический белый шум не может быть гауссовым процессом, поскольку для корректного определения гауссова процесса его средний квадрат должен быть конечным.

ПРИМЕР 5.5. СПЕКТРАЛЬНАЯ ПЛОТНОСТЬ ГАРМОНИЧЕСКОГО ПРОЦЕССА. Ковариационная функция гармонического процесса, описанного в примере 5.1, имеет вид

Подстановка в формулу (5.27) дает двустороннюю спектральную плотность

состоящую из двух дельта-функций, локализованных в Поэтому односторонняя спектральная плотность равна

График этой функции изображен в табл. 5.2. Заметим, наконец, что

ПРИМЕР 5.6. СПЕКТРАЛЬНАЯ ПЛОТНОСТЬ ТЕЛЕГРАФНОГО СИГНАЛА. Телеграфный сигнал, описанный в примере 5.2, имеет ковариационную функцию экспоненциального вида

Подстановка в формулу (5.27) дает двустороннюю спектральную плотность

Поэтому односторонняя спектральная плотность имеет вид

График этой функции приведен в табл. 5.2 для Заметим, что

ПРИМЕР 5.7. СПЕКТРАЛЬНАЯ ПЛОТНОСТЬ СУММЫ ДВУХ ПРОЦЕССОВ. Ковариационная функция суммы двух стационарных случайных процессов, описанных в примере 5.3, равна

Подстановка в формулу (5.27) дает двустороннюю спектральную плотность

Однако поэтому

Следовательно, действительная функция и может быть записана в виде

Соответствующая односторонняя спектральная плотность имеет вид